陈–Simons 理论

陈–Simons 理论是一种量子场论, 也是一种拓扑量子场论. 该理论是一种规范场论. 在其对应的经典场论中, 场是 $3$ 维光滑流形 $M$ 上某个 $G$-主丛上的联络, 其中 $G$ 为 Lie 群. 其运动方程的解为这些联络中的平坦联络.

陈–Simons 理论与纽结论联系密切, 因为某些纽结不变量, 例如 Jones 多项式、HOMFLY 多项式等, 能够通过陈–Simons 理论中带有 Wilson 环路作为可观测量的分配函数给出.

1经典场论

设 $M$ 为定向 $3$ 维光滑流形, 允许带边. 设 $G$ 为紧 Lie 群, 记 $\mathfrak{g}$ 为其 Lie 代数. 固定一个 $M$ 上的光滑 $G$-主丛 $P\to M$. 例如, 若 $G$ 单连通, 则这样的主丛必为平凡的.

在上述设定下, 主丛 $P$ 上的联络 $\nabla$ 称为规范场. 当 $P\simeq M\times G$ 为平凡主丛时, 该联络由其联络 $1$-形式 $A\in {\Omega }^1(M;\mathfrak{g})$ 决定. 而对一般的主丛, 该联络 $1$-形式只在使该主丛平凡的局部坐标上有定义.

此时, 可以定义陈–Simons 泛函$$\mathrm{CS}:\{P\text{ 上联络}\}⟶\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z},$$它也是陈–Simons 理论的作用量. 当 $P\simeq M\times G$ 为平凡 $G$-主丛时, 有公式$$\mathrm{CS}(\nabla )={\int }_M\mathrm{cs}(A),$$其中 $A$ 为联络 $1$-形式, 而 $\mathrm{cs}(A)$ 为陈–Simons $3$-形式. 在坐标变化下, 该积分的值可能相差 $2\pi$ 的整数倍, 因此只在 $\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ 中良好定义.

陈–Simons 泛函的临界点恰为 $P$ 上的平坦联络, 这也即该经典场论运动方程的解.

2量子场论

3相关概念

术语翻译

陈–Simons 理论 • 英文 Chern–Simons theory