Laplace 方程

约定. 在本文中,

• $\mathbf{x}$, $\mathbf{J}$ 即粗斜体字母代表 $n$ 维列向量.
• $\mathbf{A}$, $\mathbf{O}$ 即大写粗正体字母代表矩阵, 特殊地, $\mathbf{I}$ 代表单位矩阵.
• ${\mathbf{x}}^T$ , ${\mathbf{A}}^T$ 即上标 $T$ 表示向量或矩阵的转置.
• $\Vert \mathbf{x}\Vert$ 表示向量 $\mathbf{x}$ 的 Euclid 范数.
• 函数 $\alpha (n)$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中单位球面 $S^{n-1}$ 的面积, 它的定义为: $\alpha (n):=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{{\left(2\pi \right)}^{n/2}{r}^n}{n!!},& n\text{是偶数},\\ \frac{2{\left(2\pi \right)}^{(n-1)/2}{r}^n}{n!!},& n\text{是奇数}.\end{array}$

Laplace 方程是一种特殊的二阶线性偏微分方程. 它的形式为: $$-\Delta u=0,$$其中 $\mathbf{x}\in D,u(\mathbf{x},t):D\to \mathbb{R}$ , 这里 $-\Delta$ 习惯上添加负号, 这来自该算子的物理意义. 其中$$\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2}=\nabla \cdot \nabla$$表示 Laplace 算子, 而 $\nabla$ 表示梯度算子.

1物理背景

与该方程相关的物理背景很多, 如 Ohm 定律、Fourier 热传导定律、Fick 扩散定律等.

下面我们以导体中的平衡电场为例. 设导体中某时刻达到电平衡状态, 其中电场的电势场 $\varphi$ . 平衡状态下, 对于空间 $U$ 中的一个光滑子区域 $V\subset U$ , $u$ 流过其边界 $\partial V$ 的净通量为 $0$ , 即电通量为 $0$ : $${\int }_{\partial V}\mathbf{J}\cdot \mathbf{\nu }\mathrm{d}S=0.$$其中 $\mathbf{J}$ 表示电流密度, $\mathbf{\nu }$ 表示单位外法向量场. 由 Green 公式的散度形式, 曲面积分 ${\int }_{\partial V}\mathbf{J}\cdot \mathbf{\nu }\mathrm{d}S$ 可以化为$${\int }_V\mathrm{div}\mathbf{J}\mathrm{d}\mathbf{x}={\int }_V\nabla \cdot \mathbf{J}\mathrm{d}\mathbf{x}=0.$$由于 $V$ 的任意性, 因此在整个 $D$ 中都有$$\nabla \cdot \mathbf{J}=0.$$Ohm 定律的微分形式告诉我们: 电流密度矢量 $\mathbf{J}$ 等于电导率 $\sigma$ 数乘电场强度矢量 $\mathbf{E}$ , 即$$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E};$$而电场强度与电势有如下基本关系: $$\mathbf{E}=-\nabla \varphi .$$代入可得$$-\sigma \nabla \cdot \nabla \varphi =0,$$即$$-\Delta \varphi =0.$$

2基本解

求解思路

定理 2.1 (旋转不变性). 关于 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数 $u$ 满足 $-\Delta u=0$. 记 $\mathbf{O}$ 为一个 $n\times n$ 正交阵, 定义$$v(\mathbf{x}):=u(\mathbf{O}\mathbf{x}),$$则对函数 $v$ 也有 $-\Delta v=0$ .

证明. 不妨以记号 ${\nabla }^{\ast }$ 表示旋转后的坐标系中的梯度算子 $\nabla$ , 根据坐标变换, 原坐标 $\mathbf{x}$ 变换后的坐标为$${\mathbf{x}}^{\ast }=\mathbf{O}\mathbf{x},$$因而对梯度算子也有$${\nabla }^{\ast }=\mathbf{O}\nabla .$$考虑到 $\Delta =\nabla \cdot \nabla$, 则变换后的 Laplace 算子应有$${\Delta }^{\ast }=(\mathbf{O}\nabla )\cdot (\mathbf{O}\nabla )$$结合内积的性质以及矩阵转置的性质, 由 ${\mathbf{O}}^T\mathbf{O}=\mathbf{I}$: $$\begin{array}{rl}{\Delta }^{\ast }=(\mathbf{O}\nabla )\cdot (\mathbf{O}\nabla )& =(\mathbf{O}\nabla {)}^T(\mathbf{O}\nabla )\\ & ={\nabla }^T{\mathbf{O}}^T\mathbf{O}\nabla \\ & ={\nabla }^T\mathbf{I}\nabla \\ & ={\nabla }^T\nabla =\nabla \cdot \nabla =\Delta .\end{array}$$则坐标变换后 Laplace 算子的形式保持不变, 因而满足旋转对称性.

$\square$

旋转对称性启发我们可以使用极坐标变换进行求解.

求解步骤

在上一小节中, 我们论证了用极坐标变换求解的可能性存在, 因此我们希望经过极坐标变换$$r=\Vert \mathbf{x}\Vert$$后, 求得 $u(\mathbf{x})=v(r)$ 形式的解.

由 $r^2=\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T$ , 两边同时求梯度有 $2r\nabla r=\nabla (\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T)=2\mathbf{x}$. 因此当 $r>0$ 时, $$\Delta v=\nabla \cdot \nabla v=\nabla \left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\mathbf{x}\right)=\frac{n}{r}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}+\mathbf{x}\cdot \nabla \left(\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right)$$整理后得到$$\Delta v=\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{r}^2}+\frac{n-1}{r}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=0.$$

这是一个二阶齐次线性常微分方程, 不难求解得到$$v(r)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2\pi }\ln r,& n=2,\\ \frac{1}{n\alpha (n)r^{n-2}},& n⩾3.\end{array}$$

由此我们得到了 Laplace 方程的基本解.

3解的性质

定义 3.1 (基本解). ${\mathbb{R}}^n$ 上的函数$$\Phi (\mathbf{x})=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2\pi }\ln \Vert x\Vert ,& n=2,\\ \frac{1}{n\alpha (n){\Vert x\Vert }^{n-2}},& n⩾3\end{array}$$为 Laplace 方程的基本解.

(...)

旋转对称性

根据 Laplace 方程的旋转对称性, 立即有:

推论 3.2. 定理 3.1 给出的 Laplace 方程的基本解 $\Phi (\mathbf{x})$ 具有旋转对称性.

(...)

调和性

我们称满足 Laplace 方程的函数为调和函数. 因此这个基本解具有所有调和函数的性质.

(...)

导数性质

出于之后研究 Poisson 方程的需要, 这里再列举出两个重要的模.

推论 3.3. 对定理 3.1 给出的 Laplace 方程的基本解 $\Phi (\mathbf{x})$:

(...)

4相关概念

•	偏微分方程
•	Poisson 方程
•	调和函数