转置

约定. 在本文中,

• $R$ 是一个固定的交换环.

转置是将矩阵的行、列互换的操作, 即沿由左上到右下的对角线翻转的操作.

若将矩阵视为其对应的向量空间 (或自由模) 间的线性映射, 则矩阵的转置对应于对偶空间 (或对偶模) 间的对偶映射.

1定义

定义 1.1 (转置). 设$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right)$$是 $R$ 上的 $m\times n$ 矩阵. 则 $A$ 的转置是 $R$ 上的 $n\times m$ 矩阵$$A^{\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{2,1}& \cdots & a_{m,1}\\ a_{1,2}& a_{2,2}& \cdots & a_{m,2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1,n}& a_{2,n}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right).$$

矩阵 $A$ 的转置 $A^{\mathrm{t}}$ 也记作 $A^{\mathrm{T}}$ 或 $A^{\top }$, 偶尔也记作 ${}^{\mathrm{t}}A$ 或 $A^{\prime }$.

2性质

定理 2.1. 设 $A$, $B$ 是 $R$ 上的 $m\times n$ 矩阵. 设 $C$ 是 $R$ 上的 $n\times p$ 矩阵. 设 $k\in R$. 则

•	$(A^{\mathrm{t}}{)}^{\mathrm{t}}=A$;
•	$(A+B{)}^{\mathrm{t}}=A^{\mathrm{t}}+B^{\mathrm{t}}$;
•	$(kA{)}^{\mathrm{t}}=k{A}^{\mathrm{t}}$;
•	$(AC{)}^{\mathrm{t}}=C^{\mathrm{t}}{A}^{\mathrm{t}}$.

3相关概念

•

共轭转置

4参考文献

•

讲义: 行列式入门

5相关概念

术语翻译

转置 • 英文 transpose • 世界语 transpono