Riemann 猜想

约定. 在本文中,

• $s$ 表示以 $\sigma$ 为横坐标、$t$ 为纵坐标的复数.
• $\rho$ 表示以 $\beta$ 为横坐标、$\gamma$ 为纵坐标的 $\zeta (s)$ 零点.

Riemann 猜想, 又称 Riemann 假设, 指 Riemann 在 1859 年 ([Rie59]) 所作出的猜测:

$\zeta (s)$ 的所有非平凡零点都落在直线 $\sigma =\frac{1}{2}$ 上.

其中 $\zeta (s)$ 为 Riemann $\zeta$ 函数.

1等价形式

参见: Chebyshev 函数; Perron 公式

Riemann 猜想之所以非常重要, 是因为若其成立, 将改进很多估计, 譬如素数定理:

定理 1.1. 若 Riemann 猜想成立, 则有: $$\pi (x)={\int }_2^x\frac{\mathrm{d}u}{\log u}+O(x^{1/2}\log x)$$

证明.

证明. 利用一个结论, 我们知道 $2\le T\le x$ 时总有: $$\psi (x)=x-\sum _{|\gamma |\le T}\frac{x^{\rho }}{\rho }+O\left(\frac{x{\log }^{2}x}{T}\right)$$(1)由于 Riemann 猜想成立时 $\zeta (s)$ 的零点横坐标必然 $\le 1/2$, 所以有: $$\left|\sum _{|\gamma |\le T}\frac{x^{\rho }}{\rho }\right|\le 2x^{1/2}\sum _{0<\gamma \le T}\frac{1}{\gamma }$$对于零点纵坐标的倒数和, 根据 Riemann–von Mangoldt 公式, 可知: $$\begin{array}{rl}\sum _{0<\gamma \le T}\frac{1}{\gamma }& ={\int }_0^T\frac{\mathrm{d}N(u)}{u}=\frac{N(T)}{T}+{\int }_0^T\frac{N(u)}{u^2}\mathrm{d}u\\ & \ll \log T+{\int }_1^T\frac{\log u}{u}\mathrm{d}u\ll {\log }^{2}T\end{array}$$将这个结论和 $T=x^{1/2}$ 代入回 (1), 便有: $$\psi (x)=x+O(x^{1/2}{\log }^{2}x)$$这意味着: $$\vartheta (x)=x+O(x^{1/2}{\log }^{2}x)$$最后通过分部求和法我们就得到了原始结论.

$\square$

2相关概念

•	广义 Riemann 猜想
•	大 Riemann 猜想
•	素数定理
•	Chebyshev 函数

参考文献

[Rie59]	Riemann, B. (1859). Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892).
[Edw74]	Edwards, H. M. (1974). Riemann’s zeta function. Academic Press.
[MV06]	Montgomery, H. L., & Vaughan, R. C. (2007). Multiplicative number theory I: Classical theory. Cambridge University Press.

术语翻译

Riemann 猜想 • 英文 Riemann hypothesis • 德文 riemannsche Vermutung • 法文 hypothèse de Riemann