Noether 空间

如果一个拓扑空间中任何闭子集按真包含关系构成的降链都是有限的, 就说它是 Noether 空间. 等价地, Noether 性也可以表述为开子集按真包含关系构成的升链都是有限的.

拓扑空间的 Noether 性可以视为一种强的紧性: 实际上 Noether 性等价于所有子集均是紧集 (命题 2.2).

1定义

定义 1.1 (Noether 空间). 一个拓扑空间 $X$ 如果满足闭子集的降链条件, 即对任何闭子集 $Z_i\subset X,i=0,1,\dots$ 构成的降链$$X⊋Z_0⊋Z_1⊋Z_2⊋\cdots$$必是有限长的, 即存在 $n$ 使 $Z_n=\varnothing$, 等价地, 对任何开子集 $U_i\subset X,i=0,1,\dots$ 构成的升链$$U_0⊊U_1⊊\cdots$$也是有限长的, 即存在 $n$ 使 $U_n=X$, 那么就说 $X$ 是一个 Noether 空间.

2性质

命题 2.1. 一个拓扑空间 $X$ 是 Noether 的, 当且仅当 $X$ 的任意开子集是紧集.

证明. 如果 $X$ 是 Noether 的, 设 $A\subset X$ 是开子集, 假设它不紧. 取 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 构成 $A$ 的无穷开覆盖, 使其没有有限的子覆盖, 作闭集 $Z_{\alpha }=U_i^c$, 于是 ${\bigcap }_{\alpha \in I}{Z}_{\alpha }\subset A^c$.

我们构造闭子集的降链如下: 任取 $Z_1^{\prime }=Z_{\alpha },\alpha \in I$, 它是 $\{Z_{\alpha }\}$ 中一个集合的交集. 假设已经取到 $Z_i^{\prime }$, 为 $\{Z_{\alpha }\}$ 中 $i$ 个集合的交集, 则 $Z_i^{\prime }⊈A^c$, 否则 $Z_i^{\prime c}$ 是 $\{U_{\alpha }\}$ 中有限个开集的并而 $A\subset Z_i^{\prime }$, 与假设矛盾. 这时一定存在 $Z_{\alpha }\in \{Z_{\alpha }\}$, 使 $Z_i^{\prime }\not\subset Z_{\alpha }$, 否则 $Z_i^{\prime }={\bigcap }_{\alpha \in I}{Z}_{\alpha }\subset A^c$ 矛盾. 这时, $Z_i^{\prime }\cap Z_{\alpha }$ 是 $Z_i^{\prime }$ 的真子集. 我们就取 $Z_{i+1}^{\prime }=Z_i^{\prime }\cap Z_{\alpha }$. 由于 $I$ 是无穷集, 我们可以构造无穷长的闭子集的降链, 这和 Noether 性矛盾. 所以 $A$ 是紧集.

现在反过来, 假设 $X$ 的任意开子集均紧. 设有无穷长的闭子集的降链 $Z_1⊋Z_2⊋\cdots$, 则开集 $Z_1^c,Z_2^c,\dots$ 构成开集 $A={\bigcup }_{i=1}^{\infty }{Z}_i^c$ 的开覆盖. 于是它存在有限子覆盖, 即 $i_1<i_2<\cdots <i_n$, $A\subset {\bigcap }_{j=1}^n{Z}_{i_j}^c=Z_{i_n}^c$. 于是对于 $i>i_n$, $A=Z_{i_n}^c⊊Z_i^c\subset A$, 矛盾. 所以 $X$ 是 Noether 的.

$\square$

命题 2.2. 一个拓扑空间 $X$ 是 Noether 的, 当且仅当 $X$ 的任意子集是紧集.

证明. 我们只要证明所有开子集紧可以推出所有子集紧. 现在设 $A\subset X$ 有开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$, 那么 ${\bigcup }_{i\in I}{U}_i$ 也是开集而且 $\{U_i\}$ 也构成其开覆盖, 因此存在有限子覆盖, 它自然也是 $A$ 的有限开覆盖.

$\square$

命题 2.3. Noether 空间的任何子空间也是 Noether 的.

命题 2.4. Hausdorff 的 Noether 空间是带离散拓扑的有限空间.

命题 2.5. 任何 Noether 空间都是它的一些不可约闭子集的并.

术语翻译

Noether 空间 • 英文 Noetherian space • 德文 Noetherscher Raum • 法文 espace noethérien