Zariski 主定理

Zariski 主定理是拟有限态射的结构定理, 说的是分离拟有限态射都开浸入有限态射. 它也是平展态射、非分歧态射结构定理证明中重要的一步.

有的文献会把百科中的 Zariski 连通性定理称为 Zariski 主定理.

1陈述与证明

以下命题是说相对正规化和平展基变换交换, 之后移到平展态射处.

命题 1.1. 记态射 $f:X\to S$ 的相对正规化为 $X\to S^{\prime }\to S$. 对平展态射 $T\to S$, 记 $f_T:X_T\to T$ 的相对正规化为 $X_T\to T^{\prime }\to T$. 则 $T^{\prime }=S_T^{\prime }$, 为 $S^{\prime }$ 沿 $T\to S$ 基变换.

证明. 相对正规化为 Zariski 局部, 故可设 $T$ 拟紧、分离; 又平展同态 $T\to S$ 是开映射, 把 $S$ 换成像集可设 $T\to S$ 为满. 设其各几何纤维点数最多为 $n$, 对 $n$ 归纳. $n=0$ 时不用证. $n>0$ 时考虑对角线 ${\Delta }_{T/S}:T\to T{\times }_{S}T$. 由于 $T\to S$ 平展、分离, ${\Delta }_{T/S}$ 是开闭浸入. 令 $U$ 为其补集, 则两个投影 $U\to T$ 各几何纤维点数最多为 $n-1$, 故由归纳假设 $U^{\prime }=T_U^{\prime }$. 而对角线到 $T$ 的投影是同构, 所以 $(T{\times }_{S}T{)}^{\prime }=T_{T{\times }_{S}T}^{\prime }$, 特别地 $T^{\prime }$ 沿两个投影基变换到 $T{\times }_{S}T$ 所得结果一样. 由平坦下降, 存在整 $S$-概形 $S^{\prime \prime }$ 使得 $S_T^{\prime \prime }=T^{\prime }$, 且映射 $X_T\to T^{\prime }$ 也可下降为 $X\to S^{\prime \prime }$. 注意 $S^{\prime \prime }\to S$ 为整同态, 故由相对正规化的万有性质, $X\to S^{\prime \prime }$ 唯一地穿过 $S^{\prime }$; 另一方面由 $T$ 上这一万有性质, $X_T\to S_T^{\prime }$ 唯一地穿过 $T^{\prime }$, 然后又能下降为 $X\to S^{\prime }$ 穿过 $S^{\prime \prime }$. 这样就有 $S^{\prime }$ 和 $S^{\prime \prime }$ 互相的映射, 由唯一性知两个方向的复合都是恒同, $S^{\prime }=S^{\prime \prime }$, 故 $T^{\prime }=S_T^{\prime }$.

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下面是 Zariski 主定理对一般概形的陈述. 其实证明的一大部分已经在 Hensel 环条目完成.

定理 1.2. 设 $f:X\to S$ 是分离有限型态射, $\nu :S^{\prime }\to S$ 为相对正规化, 即 ${\mathcal{O}}_S$ 在 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$ 中的整闭包的相对素谱. 以 $f^{\prime }:X\to S^{\prime }$ 记自然态射. 记 $U=\{x\in X\mid \text{f 在 x 拟有限}\}$, 则有 $U$ 为开集, $f^{\prime }{|}_U$ 为开浸入, $f^{\prime -1}(f^{\prime }(U))=U$. 特别地, 分离拟有限态射典范地开浸入整态射.

证明. 取 $x\in U$, 并记 $s=f(x)$. 设 $S$ 在 $s$ 处 Hensel 化为 $R$, 则 $\mathrm{Spec}R$ 是平展 $S$-概形沿仿射转移态射的极限. 由相对正规化和平展基变换交换、可以过渡到极限, 知 $f_R:X_R\to \mathrm{Spec}R$ 的相对正规化为 $S_R^{\prime }$. 这样由 Hensel 环的等价刻画, $X_R$ 可分解为 $X_{R,0}\bigsqcup X_R^{\prime }$, 其中 $X_{R,0}$ 在 $R$ 上有限, $X_R^{\prime }$ 特殊纤维没有离散点. 显然 $x\in X_{R,0}$. 容易看出 $X_R\to \mathrm{Spec}R$ 的相对正规化 $S_R^{\prime }$ 形如 $S_{R,0}^{\prime }\bigsqcup S_R^{\prime \prime }$, 其中 $X_{R,0}$ 沿 $f_R^{\prime }$ 同构到 $S_{R,0}^{\prime }$. 于是由过渡到极限, 存在 $s$ 的平展邻域 $T$ 以及 $X_T$ 的分解 $X_{T,0}\bigsqcup X_T^{\prime }$, 满足 $X_{T,0}$ 在 $T$ 上有限, 包含 $x$, 且沿 $f_T^{\prime }$ 同构到 $S_T^{\prime }$ 的开闭子概形. 由于 $T\to S$ 为平展, 故为拟有限, 从而 $X_{T,0}\to S$ 拟有限. 考虑 $X_{T,0}$ 沿平展态射 $X_T\to X$ 的像 $U_0$, 则它为 $X$ 的拟紧开子概形, 为有限型, 又由 $X_{T,0}\to S$ 拟有限便知 $U_0\to S$ 拟有限, $U_0\subseteq U$. 每个 $x\in U$ 都有开邻域 $U_0\subseteq U$, 所以 $U$ 为开. 由上面对 Hensel 局部化的分析不难看出, 在 $f$ 的每根纤维上, $f^{\prime }{|}_U$ 都是单射, 且满足 $f^{\prime -1}(f^{\prime }(U))=U$; 所以 $f^{\prime }{|}_U$ 整体地是单射, 且集合论地满足 $f^{\prime -1}(f^{\prime }(U))=U$. 最后只剩证明 $f^{\prime }{|}_U$ 是开浸入. 由于已经证明它是单射, 只需对每个 $x\in U$ 证明它在 $x$ 的局部是开浸入; 此时我们可以对 $S$ 做平展局部化到 $T$, 这样由上述 $X_{T,0}\to S_T^{\prime }$ 是开闭浸入即得结论.

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推论 1.3. 分离拟有限态射拟仿射.

证明. 如 $f:X\to S$ 分离拟有限, 取相对正规化 $S^{\prime }$, 则 $X\to S^{\prime }$ 为拟紧开浸入, $S^{\prime }\to S$ 为整同态, 特别地仿射, 故 $f$ 拟仿射.

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定理 1.4. 设 $f:X\to S$ 是分离拟有限态射, $S$ 是拟紧拟分离概形. 则 $f$ 能分解为开浸入 $j:X\to T$ 与有限态射 $\pi :T\to S$.

证明. 取相对正规化 $\nu :S^{\prime }\to S$, 则由定理 1.2, 自然态射 $f^{\prime }:X\to S^{\prime }$ 是开浸入. 现在 ${\nu }_{\ast }{\mathcal{O}}_{S^{\prime }}$ 在 ${\mathcal{O}}_S$ 上整; 由 $S$ 拟紧拟分离知其等于其有限子代数的并; 对应地 $S^{\prime }={\lim }_{i\in I}{S}_i$, 每个 $S_i\to S$ 有限. 把 $S^{\prime }$ 的拟紧开子概形 $X$ 过渡到极限, 知存在 $i\in I$ 以及 $X_i\subseteq S_i$, 在 $S^{\prime }$ 的原像为 $X$. 现对 $j\ge i$, 记 $X_i$ 在 $S_j$ 中原像为 $X_j$, 记 ${\mathcal{A}}_j$ 为 $S_j\to S_i$ 对应的 ${\mathcal{O}}_{S_i}$-代数, 记 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 为 $S^{\prime }\to S_i$ 对应的 ${\mathcal{O}}_{S_i}$-代数. 则由 $S_i$ 的取法有 ${\mathcal{A}}_j$ 之间转移映射为单射, ${\mathcal{A}}^{\prime }={\mathrm{colim}}_j{\mathcal{A}}_j$. 将此等式限制到 $X_i$ 上, 由 $X$ 为有限型知对充分大的 $j$ 有 ${\mathcal{A}}^{\prime }{|}_{X_i}={\mathcal{A}}_j{|}_{X_i}$, 即 $X=X_j$, 这样取 $T=S_j$ 即满足要求.

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推论 1.5. 拟有限紧合态射为有限.

证明. 设 $f:X\to S$ 为拟有限紧合态射. 如定理所述作分解 $X\to T\to S$, 其中 $X\to T$ 为开浸入. 由对角态射论证易知 $X\to T$ 紧合, 故也是闭浸入. 所以 $X$ 在 $S$ 上整, 由其有限型便知有限.

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注 1.6. 这里的证明稍显繁琐, 但能得到尽可能一般的结论. Noether 情形有些更简单的证明, 比如参见 [扶磊] 定理 1.10.13.

2相关概念

•	平展态射
•	Hensel 环
•	Stein 分解
•	代数空间

3参考文献

•	扶磊 (2015). Étale Cohomology Theory. Nankai Tracts in Mathematics 14. World Scientific.

术语翻译

Zariski 主定理 • 英文 Zariski’s main theorem • 德文 Hauptsatz von Zariski • 法文 théorème principal de Zariski