代数闭包

域 $k$ 的代数闭包是包含 $k$ 的最小代数闭域, 也是向 $k$ 添加其中所有非常值多项式的根而得到的域.

1定义

定义 1.1 (代数闭包). 设 $k$ 是域. 如域扩张 $K/k$ 为代数扩张, 且 $K$ 为代数闭域, 则称 $K$ 为 $k$ 的代数闭包.

代数闭包总存在 (定理 2.1), 并在相差同构的意义下的唯一.

2存在性

定理 2.1. 每个域都有代数闭包. 若 $K$ 为 $k$ 的代数闭包, $\Omega \supseteq k$ 为代数闭域, 则存在 $k$-嵌入 (即保持 $k$ 不动的嵌入) $K\hookrightarrow \Omega$; 如 $\Omega /k$ 也是代数闭包, 则该嵌入是同构. 特别地, $k$ 的代数闭包都同构, 将其记作 $k^{\mathrm{a}}$.

证明依赖选择公理, 以 Zorn 引理的方式应用.

证明. 先证存在性. 取集合 $S\supseteq k$ 满足 $|S|>\max \{|k|,{\aleph }_0\}$. 考虑集合$$\{F/k\text{ 代数扩张}\mid F\subseteq S\}$$及其上的偏序: $E\le F$ 指 $E\subseteq F$ 且含入映射是域同态. 它显然非空, 因为平凡扩张属于它; 显然每条链都有上界, 就是把那些扩张并起来. 故它有极大元 $K/k$. 下证 $K$ 代数闭. 设 $L/K$ 为代数扩张, 则 $L/k$ 也是代数扩张. 由下面的引理, $|K|\le |L|<|S|$, 故存在集合单射 $L\setminus K\to S\setminus K$, 即存在单射 $\phi :L\to S$, $\phi {|}_K=\mathrm{id}$. 用 $\phi$ 将 $L$ 的域结构搬到 $\phi (L)$ 上去, 得代数扩张 $\phi (L)/k$, $\phi (L)\subseteq S$. 由 $K$ 极大立得 $\phi (L)=K$, 即 $L=K$, 故 $K$ 代数闭.

再证唯一性. 考虑集合$$\{(E,\phi )\mid k\subseteq E\subseteq K,\phi :E\hookrightarrow \Omega \text{ 为 k-嵌入}\}$$及其上的偏序: $(E,\phi )\le (F,\psi )$ 指 $E\subseteq F$ 且 $\psi {|}_E=\phi$. 它显然非空, 因为平凡扩张属于它; 显然每条链都有上界, 就是把扩张和映射都并起来. 故它有极大元 $F/k$, $\psi :F\hookrightarrow \Omega$. 要证 $F=K$. 若其不然, 则存在 $a\in K\setminus F$. 由单扩张的结构, $F(a)\cong F[x]/f(x)$ 对首一不可约 $f(x)\in F[x]$. 由于 $\Omega$ 代数闭, $f(x)$ 在 $\Omega$ 有根 $a^{\prime }$, 于是有嵌入 $F(a)\hookrightarrow \Omega$, $a\mapsto a^{\prime }$, 延拓 $\psi$, 与 $(F,\psi )$ 的极大性矛盾! 故 $F=K$, 即存在 $k$-嵌入 $K\hookrightarrow \Omega$.

如 $\Omega /k$ 也是代数闭包, 则它是代数扩张, 从而 $\Omega /K$ 是代数扩张, 由 $K$ 代数闭知 $\Omega =K$.

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3例子

•	代数闭域的代数闭包是其自身.
•	有理数域 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包是代数数域 $\bar{\mathbb{Q}}$.
•	实数域 $\mathbb{R}$ 的代数闭包是复数域 $\mathbb{C}$.

4性质

大小

引理 4.1. $F/k$ 为代数扩张. 则 $|F|\le \max \{|k|,{\aleph }_0\}$.

证明. 记 $A=\max \{|k|,{\aleph }_0\}$. 先证 $|k[x]|\le A$. 由于每个多项式都是常数或者对某个正整数 $n$ 的 $n$ 次多项式, 而 $n$ 次多项式的集合通过取系数能嵌入 $k^{n+1}$, 故$$|k[x]|\le \sum _{n=0}^{\infty }|k{|}^{n+1}\le \sum _{n=0}^{\infty }{A}^{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }A={\aleph }_{0}A=A.$$再证引理本身. 考虑映射「取极小多项式」$:F\to k[x]$. 由多项式零点只有有限个, 得$$|F|\le {\aleph }_0|k[x]|\le {\aleph }_{0}A=A.$$基数算术的具体细节参见基数.

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术语翻译

代数闭包 • 英文 algebraic closure • 德文 algebraischer Abschluss (m) • 法文 clôture algébrique (f)