三角范畴

三角范畴是带有额外结构的范畴, 是同调代数中导出范畴的结构的一种公理化描述.

从当代的观点看, 三角范畴的结构可以自然地放进稳定同伦论的框架中. 三角范畴可以看成稳定 $\infty$-范畴在普通范畴论中的 “影子”, 因为稳定 $\infty$-范畴的同伦范畴就是三角范畴, 而三角范畴的一些构造在稳定 $\infty$-范畴中更加自然 (§4).

1定义

定义 1.1 (三角范畴). 三角范畴由以下信息组成:

•	加性范畴 $\mathcal{C}$.

•	范畴等价 $T:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$, 称为平移函子. 对 $X\in \mathcal{C}$ 及整数 $n$, 记$$X[n]=T^{n}X.$$

•	一族正合三角, 即 $\mathcal{C}$ 中一族选定的形如$$X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }X[1]$$的映射列.

它们满足以下公理:

•	(TR1) ∘ 正合三角被同构保持: 同构于正合三角的三角也是正合三角. ∘ 对任何 $X\in \mathcal{C}$, $$X\stackrel{1_X}{\to }X⟶0⟶X[1]$$是正合三角. ∘ 对 $\mathcal{C}$ 中任何态射 $f:X\to Y$, 都存在正合三角$$X\stackrel{f}{\to }Y⟶Z⟶X[1].$$

•	(TR2) 三角$$X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }X[1]$$是正合三角, 当且仅当$$Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }X[1]\stackrel{-f[1]}{\to }Y[1]$$是正合三角.

•

(TR3) 给定正合三角$$\begin{array}{c}X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }X[1],\\ X^{\prime }\stackrel{f^{\prime }}{\to }{Y}^{\prime }\stackrel{g^{\prime }}{\to }{Z}^{\prime }\stackrel{h^{\prime }}{\to }{X}^{\prime }[1],\end{array}$$及交换图表$$XY{X}^{\prime }{Y}^{\prime }\text{ ,}fab{f}^{\prime }$$存在 (不一定唯一的) 态射 $c:Z\to Z^{\prime }$, 使图表$$XYZX[1]X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }{X}^{\prime }[1]fagbhca[1]f^{\prime }{g}^{\prime }{h}^{\prime }$$交换.

•

(TR4, 八面体公理) 给定正合三角$$\begin{array}{c}X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{k}{\to }Y/X\stackrel{p}{\to }X[1],\\ Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{l}{\to }Z/Y\stackrel{q}{\to }Y[1],\\ X\stackrel{h}{\to }Z\stackrel{m}{\to }Z/X\stackrel{r}{\to }X[1],\end{array}$$满足 $h=g\circ f$, 则存在正合三角$$Y/X\stackrel{u}{\to }Z/X\stackrel{v}{\to }Z/Y\stackrel{w}{\to }(Y/X)[1],$$使得图表$$XZZ/Y(Y/X)[1]YZ/XY[1]Y/XX[1]hflmwqgkvrk[1]puf[1]$$交换.

注 1.2.

•	上述 (TR1–TR4) 沿用了 [Verdier 1996] 的编号. 但事实上 (TR3) 是多余的, 它可以由其它公理推出来.

•	公理 (TR4) 又称为八面体公理, 因为其中的图表可以写成如下形式: $$YXZY/XZ/YZ/Xgkfhlmpuqwrv$$其中虚线箭头表示从起点到终点的平移的态射. 在八个三角形面中, 有四个正合三角和四个交换的三角; 另外, 有两个连接 $Y$ 与 $Z/X$ 的交换四边形. 八面体公理描述的是第三同构定理的类比, 即 $(Z/X)/(Y/X)\simeq Z/Y$.

2性质

3例子

4问题

写锥的非函子性; 同伦交换与同伦连贯 (或者怎么翻译更好?) 的区别

5相关概念

•	稳定 $\infty$-范畴
•	$t$-结构

6参考文献

原始文献:

•	Jean-Louis Verdier (1996). Des catégories dérivées des catégories abéliennes. Astérisque 239. Société Mathématique de France. (zbMATH)

术语翻译

三角范畴 • 英文 triangulated category • 德文 triangulierte Kategorie • 法文 catégorie triangulée

正合三角 • 英文 distinguished triangle • 德文 ausgezeichnetes Tripel • 法文 triangle distingué