稳定同伦论

稳定同伦论是同伦论的一种特例, 起源于代数拓扑中对拓扑空间的稳定同伦群, 及由此发展出的拓扑谱的研究. 经典的稳定同伦论就是拓扑谱的理论.

当代的稳定同伦论也就是稳定 $\infty$-范畴的理论, 它是拓扑谱理论的推广, 因为拓扑谱构成稳定 $\infty$-范畴. 研究拓扑谱的诸多方法都可以应用于这类范畴中. 除拓扑谱之外, 稳定同伦论最重要的例子是同调代数, 其中稳定 $\infty$-范畴取为导出 $\infty$-范畴, 或一般的微分分次范畴.

1想法

经典的稳定同伦论考虑以下的问题.

对任何带点拓扑空间 $X$, 纬悬–环路伴随的伴随单位 $X\to \Omega \Sigma X$ 诱导了同伦群的映射$${\pi }_n(X)⟶{\pi }_n(\Omega \Sigma X)\simeq {\pi }_{n+1}(\Sigma X).$$由此可以得到一串映射$${\pi }_n(X)\to {\pi }_{n+1}(\Sigma X)\to {\pi }_{n+2}({\Sigma }^{2}X)\to \cdots .$$对某些 $X$, 这些同伦群会趋于稳定. 例如有球面同伦群$$\begin{array}{rl}& {\pi }_1(S^1)\simeq {\pi }_2(S^2)\simeq {\pi }_3(S^3)\simeq \cdots \simeq \mathbb{Z},\\ & {\pi }_2(S^1)\to {\pi }_3(S^2)\to {\pi }_4(S^3)\simeq {\pi }_5(S^4)\simeq \cdots \simeq \mathbb{Z}/2.\end{array}$$这时, 最后稳定的部分就称为 $X$ 的稳定同伦群, 记为 ${\pi }_n^{\mathrm{s}}(X)$. 例如,$$\begin{array}{rl}{\pi }_1^{\mathrm{s}}(S^1)& \simeq \mathbb{Z},\\ {\pi }_2^{\mathrm{s}}(S^1)& \simeq \mathbb{Z}/2.\end{array}$$对一般的空间 $X$, 也可以定义其稳定同伦群为余极限$${\pi }_n^{\mathrm{s}}(X)=\underset{k\to \infty }{\mathrm{colim}}{\pi }_{n+k}({\Sigma }^{k}X).$$这也不限于正的 $n$,

我们回忆, 拓扑空间的弱同伦等价定义为诱导所有同伦群同构的映射. 我们也可以类似定义 “稳定弱同伦等价” 为诱导所有稳定同伦群同构的映射. 我们发现, 与拓扑中不同, 我们有$${\pi }_n^{\mathrm{s}}(X)\simeq {\pi }_n^{\mathrm{s}}(\Omega \Sigma X),$$另外, 我们也想要有$${\pi }_n^{\mathrm{s}}(X)\simeq {\pi }_n^{\mathrm{s}}(\Sigma \Omega X),$$因为右边自然地等于 ${\pi }_{n-1}^{\mathrm{s}}(\Omega X)$. 也就是说, 我们想要纬悬–环路伴随在稳定同伦的意义下互为逆函子. 但这并不能做到, 因为当 $X$ 有多个道路连通分支时, $\Omega X$ 只考虑了其中一个道路连通分支, 故 $\Sigma \Omega X$ 也只基于该分支. 但如果想要一个 “正确” 的 $\Omega X$, 它就应该满足$${\pi }_{-1}(\Omega X)\simeq {\pi }_0(X),$$这在拓扑空间范畴中是做不到的.

这个问题由拓扑谱的理论给出了合理的答案. 拓扑谱由一列拓扑空间 $X_0,X_1,X_2,\dots$ 构成, 并且对每个 $n$ 有一个映射 ${\sigma }_n:X_n\to \Sigma X_{n+1}$. 例如, 在之前的例子中, 我们取空间列 $X,\Sigma X,{\Sigma }^{2}X,\dots$, 然后将 ${\sigma }_n$ 都取恒同映射. 我们可以定义拓扑谱的稳定同伦群为余极限$${\pi }_n^{\mathrm{s}}(X)=\underset{k\to \infty }{\mathrm{colim}}{\pi }_{n+k}(X_k).$$这样, 拓扑谱可以有负数同伦群. 并且, 最重要的一点是, 纬悬–环路伴随在拓扑谱的范畴中确实是同伦意义下的逆函子.

拓扑谱的另一个性质是, 拓扑空间的广义上同调理论一定由拓扑谱表出. 例如, 奇异上同调就由 Eilenberg–Mac Lane 谱表出. 也就是说, 任何同调理论的所有信息都可以通过拓扑谱得到, 换言之, 同调是稳定同伦论的特例.

上述拓扑谱的一些性质可以推广到一般的稳定 $\infty$-范畴中. 例如, 导出范畴 (准确地说, 导出 $\infty$-范畴) 是稳定 $\infty$-范畴的典型例子. 在导出范畴中, 纬悬、环路函子就是链复形的向左、向右平移. 同调代数中的诸多构造都对应于稳定同伦论中更一般的构造, 其中典型一例是三角范畴, 它起源于同调代数的研究, 但其本质来源于稳定同伦论: 稳定 $\infty$-范畴的同伦范畴具有自然的三角范畴结构.

术语翻译

稳定同伦论 • 英文 stable homotopy theory • 法文 théorie de l’homotopie stable