同伦范畴

同伦范畴是高阶范畴论中的一种构造, 是截断范畴的特例. 给定 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 其同伦范畴是普通范畴 $\mathsf{Ho}(\mathcal{C})$, 其对象与 $\mathcal{C}$ 中对象相同, 态射是 $\mathcal{C}$ 中 $1$-态射的同伦类.

例如, 对空间 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{Top}$ 而言, 粗略地说, 其对象是拓扑空间, 态射之间的同伦就是普通意义下的同伦, 因此其同伦范畴就是拓扑空间同伦范畴 $\mathsf{hTop}$.

当上述 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 来自模型范畴时, 同伦范畴 $\mathsf{Ho}(\mathcal{C})$ 可以由模型范畴的结构来具体描述. 例如, 该范畴就是模型范畴 $\mathcal{C}$ 对其中弱等价 $\mathsf{W}$ 的局部化 $\mathsf{Ho}(\mathcal{C})\simeq \mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}]$. 并且, 其中的态射对应于 $\mathcal{C}$ 中双纤维性对象间态射的同伦类, 因此可以通过对 $\mathcal{C}$ 中对象取纤维性、余纤维性替换, 再考虑其间态射的同伦类, 来完全确定同伦范畴中的态射. 在高阶范畴中, 像这样的具体计算有时难以直接得到, 而模型范畴的上述性质能够帮助我们获知相应高阶范畴的性质.

1定义

对高阶范畴

对模型范畴

定义 1.1 (同伦范畴). 设 $(\mathcal{C},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib},\mathsf{W})$ 是模型范畴. 定义范畴 $\mathsf{Ho}(\mathcal{C})$ 为 $\mathcal{C}$ 对其中所有弱等价 $\mathsf{W}$ 构成的态射类的局部化$$\mathsf{Ho}(\mathcal{C})\simeq \mathcal{C}[{\mathsf{W}}^{-1}],$$称为 $\mathcal{C}$ 的同伦范畴.

2性质

双纤维性对象

在模型范畴中, 双纤维性对象的同伦范畴等价于原范畴的同伦范畴. 并且, 同伦范畴中的态射空间可以由双纤维性对象间的态射来描述.

定理 2.1. 令 $(\mathcal{C},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib},\mathsf{W})$ 为模型范畴, ${\mathcal{C}}^{\circ }\subset \mathcal{C}$ 为 $\mathcal{C}$ 中双纤维性对象构成的全子范畴. 记 $Q$ 和 $R$ 分别为 $\mathcal{C}$ 中的余纤维性替换和纤维性替换函子. 则

1.	含入函子 ${\mathcal{C}}^{\circ }\to \mathcal{C}$ 诱导范畴等价$${\mathcal{C}}^{\circ }/\sim \simeq {\mathcal{C}}^{\circ }[{\mathsf{W}}^{-1}]\simeq \mathsf{Ho}(\mathcal{C}),$$其中 ${\mathcal{C}}^{\circ }/\sim$ 表示将 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 中每个态射集换成相应态射的同伦类的集合, 而得到的范畴.
2.	对 $X,Y\in \mathcal{C}$, 有集合间的自然同构$$\mathsf{Ho}(\mathcal{C})(X,Y)\simeq \mathcal{C}(QX,RY)/\sim ,$$其中 $\sim$ 表示同伦. 特别地, 若 $X$ 余纤维性且 $Y$ 纤维性, 则 $\mathsf{Ho}(\mathcal{C})(X,Y)\simeq \mathcal{C}(X,Y)/\sim$.

参见 [Hovey 1999, 定理 1.2.10].

3参考文献

•	M. Hovey (1999). Model categories. Mathematical Surveys and Monographs 63. American Mathematical Society.

•	讲义: 同伦代数与同调代数

4相关概念

术语翻译

同伦范畴 • 英文 homotopy category