上、下界

对实数集 $\mathbb{R}$ 的子集 $S\subset \mathbb{R}$ 而言, 其上界是指大于或等于 $S$ 中所有元素的数, 其下界是指小于或等于 $S$ 中所有元素的数. 例如, 自然数集 $\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$ 没有上界, 但任何 $\le 0$ 的实数都是其下界.

这一概念也可以推广到一般的偏序集.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是偏序集, $S\subset X$ 是其子集.

•	称元素 $x\in X$ 为 $S$ 的上界, 若对任意 $s\in S$, 有 $s\le x$.

•	称元素 $x\in X$ 为 $S$ 的下界, 若对任意 $s\in S$, 有 $s\ge x$.

2相关概念

术语翻译

上界 • 英文 upper bound • 德文 obere Schranke (f) • 法文 majorant (m)

下界 • 英文 lower bound • 德文 untere Schranke (f) • 法文 minorant (m)