拟序集

拟序集是类似偏序集的概念, 但允许 “多个元素一样大”.

在偏序集中, 我们要求关系满足反对称性, 即若 $x\le y$ 且 $y\le x$, 则 $x=y$. 也就是说, 如果两个元素一样大, 则它们一定相等. 在拟序集中, 我们不要求这一点.

若集合 $X$ 带有拟序关系, 则我们可以得到等价关系 $\sim$, 定义 $x\sim y$ 为 $x\le y$ 且 $y\le x$. 则拟序 $\le$ 诱导商集 $X/\sim$ 上的偏序. 这说明, $X$ 上的拟序等价于 $X$ 上的等价关系, 加上一个商集上的偏序.

1定义

定义 1.1 (拟序). 集合 $X$ 上的拟序是二元关系 $\le$, 满足以下性质:

•	(自反性) 对任意 $x\in X$, 有 $x\le x$.
•	(传递性) 对任意 $x,y,z\in X$, 若 $x\le y\le z$, 则 $x\le z$.

此时, 二元组 $(X,\le )$ 称为拟序集.

2相关概念

术语翻译

拟序 • 英文 preorder; quasiorder • 德文 Quasiordnung (f) • 法文 préordre (m)

拟序集 • 英文 preordered set; proset; quasiordered set • 德文 quasigeordnete Menge (f) • 法文 ensemble préordonné (m)