上、下确界

对实数集 $\mathbb{R}$ 的子集 $S\subset \mathbb{R}$ 而言, 其上确界是指其最小上界, 而下确界是指其最大下界. 此两者分别记为$$\sup S,\inf S.$$例如, 若 $S$ 是有限区间, 不论是开、闭还是半开半闭区间, 其上下确界都分别是其两个端点. 但一般而言, $\mathbb{R}$ 的子集不一定有上、下界, 所以也不一定有上、下确界.

这一概念也可以推广到一般的偏序集.

1定义

定义 1.1. 设 $P$ 是偏序集, $S\subset P$ 是其子集.

•	称元素 $x\in P$ 为 $S$ 的上界, 若对任意 $s\in S$, 有 $s\le x$.

•	称元素 $x\in P$ 为 $S$ 的下界, 若对任意 $s\in S$, 有 $s\ge x$.

•	称元素 $x\in P$ 为 $S$ 的上确界, 若 $x$ 是 $S$ 的最小上界, 即对 $S$ 的任意上界 $x^{\prime }$, 有 $x\le x^{\prime }$.

•	称元素 $x\in P$ 为 $S$ 的下确界, 若 $x$ 是 $S$ 的最大下界, 即对 $S$ 的任意下界 $x^{\prime }$, 有 $x\ge x^{\prime }$.

子集的上下界不一定存在, 例如 $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$ 就没有上下界, 更没有上下确界.

但我们也许会希望, 若一个子集有上界, 则应该有上确界. 这在实数集 $\mathbb{R}$ 中是成立的, 但一般并不成立. 满足这一性质的偏序集称为有界完备偏序集. 例如, 集合 $\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2<2\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 中有上下界, 但没有上下确界, 故 $\mathbb{Q}$ 不是有界完备的. 该集合在 $\mathbb{R}$ 中有上下确界 $\pm \sqrt{2}$.

2性质

实数的上下确界

命题 2.1. 实数集 $\mathbb{R}$ 是有界完备的. 也就是说, 对任意子集 $S\subset \mathbb{R}$, 若 $S$ 有上界, 则其有上确界; 若 $S$ 有下界, 则其有下确界.

3相关概念

•	上、下极限
•	本质上、下确界

术语翻译

上确界 • 英文 supremum • 德文 Supremum (n) • 法文 supremum (m)

下确界 • 英文 infimum • 德文 Infimum (n) • 法文 infimum (m)