Zorn 引理

Zorn 引理是说, 如果一个偏序集的每个全序子集都有上界, 那么这个偏序集就有极大元.

Zorn 引理常常用来说明极大对象的存在性. 例如, 向量空间是极大的线性无关子集, Zorn 引理可以说明每个向量空间都有基. 再例如, Zorn 引理可以用来证明 Krull 定理: 一个的任何真理想都包含于一个极大理想.

ZF 集合论中, Zorn 引理与选择公理等价. 因此, 在主流数学所使用的 ZFC 集合论中, Zorn 引理是真命题.

构造主义数学中, 选择公理蕴涵 Zorn 引理, 而 Zorn 引理需要加上排中律才能推出选择公理.

1叙述与证明

定义 1.1 (链、上界、极大元).偏序集.

中的是指子集 , 使得 全序集.

子集 上界是指元素 , 使得对任意 , 都有 .

极大元是指元素 , 使得如果 , 那么 .

定义 1.2 (Zorn 引理). Zorn 引理是指下面的命题:

偏序集. 假设 的每个链 (定义 1.1) 都有上界 (定义 1.1). 则 极大元 (定义 1.1).

定理 1.3. 假设选择公理成立. 则 Zorn 引理 (定义 1.2) 成立.

证明. 因为选择公理成立, 所以良序定理成立 (证明见该条目). 因此, 在 上存在一个良序其中 是某个序数. 我们用超限归纳法, 归纳定义序列 如下: 中的一个极大的链. 因此, 它的上界是 的极大元.

定理 1.4. 假设 Zorn 引理 (定义 1.2) 成立. 则选择公理成立:

给定一族非空集合 , 存在一个映射 , 使得对任意 , 有 .

证明. 是所有二元组 构成的偏序集, 其中 , 而 是一个映射, 使得对任意 , 有 . 定义 当且仅当 . 则 的每个链都有上界.

由 Zorn 引理, 有一个极大元 . 如果存在 , 那么令 , 并令 , 使得 , 并且 . 则 , 这与 的极大性矛盾. 由反证法 (这使用了排中律), 知 , 从而 就是我们要的映射.

2推论

基存在定理

Krull 定理

Tikhonov 定理

Hahn–Banach 定理

代数闭包的存在性

3相关概念

术语翻译

Zorn 引理英文 Zorn’s lemma德文 Lemma von Zorn法文 lemme de Zorn