格 (序论)

关于其它含义, 请参见 “格”.

格是一类偏序集, 其中任意两个元素都有上、下确界, 即并、交.

例如, 一个集合的所有子集在包含关系下构成的偏序集是格, 其中的上、下确界即为子集的并集、交集.

1定义

格有以下两种等价的定义方式. 第一种将其定义为满足额外条件的偏序集, 而第二种将其定义为一种代数结构.

作为偏序集

定义 1.1. 格是指偏序集 $(X,\le )$, 其中任意两个元素都有并、交, 即上、下确界.

作为代数结构

定义 1.2. 格是指三元组 $(X,\vee ,\wedge )$, 其中 $X$ 是集合, $\vee ,\wedge$ 为 $X$ 上的二元运算, 分别称为并、交, 满足以下条件:

•	(结合律) 对任意 $x,y,z\in X$, 有$$\begin{array}{rl}x\vee (y\vee z)& =(x\vee y)\vee z,\\ x\wedge (y\wedge z)& =(x\wedge y)\wedge z.\end{array}$$

•	(交换律) 对任意 $x,y\in X$, 有$$\begin{array}{r}x\vee y=y\vee x,\\ x\wedge y=y\wedge x.\end{array}$$

•	(吸收律) 对任意 $x,y\in X$, 有$$\begin{array}{rl}x\vee (x\wedge y)& =x,\\ x\wedge (x\vee y)& =x.\end{array}$$

此时, 运算 $\vee ,\wedge$ 也满足幂等律, 即对任意 $x\in X$, 有$$\begin{array}{r}x\vee x=x,\\ x\wedge x=x.\end{array}$$这能通过同时使用两条吸收律而得出. 在有的定义中也将此性质作为一条公理, 但这是多余的.

2相关概念

术语翻译

格 • 英文 lattice • 德文 Verband (m) • 法文 treillis (m)