二元谓词范畴

二元谓词范畴是由集合 $I$ 配上一个 $I\times I$ 的子集 (作为 “满足关系” 的表示) 作为对象的范畴, 它到集合范畴的遗忘函子存在一个简单的纤维范畴.

二元谓词范畴可以看作谓词范畴的二元推广, 可以用于定义商集.

1定义

定义 1.1 (二元谓词范畴). 二元谓词范畴 Rel 由如下数据组成:

•	对象: 为形如 $(I,R)$ 的二元组, 其中 $I,R$ 都是集合, 且 $R\subseteq I\times I$.

•	态射: 对于对象 $(I,R),(J,S)$, 若函数 $f:I\to J$ 满足$$\forall (i,j)\in I\times I,((i,j)\in R⟹(f(i),f(j))\in S)$$那么 $f$ 为一个 $(I,R)$ 到 $(J,S)$ 的态射.

定义 1.2. 从二元谓词范畴到集合范畴间存在遗忘函子 $U:\mathsf{Rel}\to \mathsf{Set}$, 将 $(I,R)$ 映射到 $I$、态射不变.

定理 1.3. 在 1.2 中定义的函子是纤维范畴.

证明类似谓词范畴.

定义 1.4 (相等). 定义函子 $E$: $$\begin{array}{rl}\mathsf{Set}& \to \mathsf{Rel}\\ I& \mapsto (I,\{(i,i)\mid i\in I\})\end{array}$$容易验证函子律.

其中 $\{(i,i)\mid i\in I\}$ 便是谓词范畴版本的相等函子 $E(I)$.

定义 1.5 (商集). 对于二元关系 $R\subseteq I\times I$, 可以定义如下函子 $Q$: $$\begin{array}{rl}\mathsf{Rel}& \to \mathsf{Set}\\ (I,R)& \mapsto I/\overline{R}\end{array}$$其中 $\overline{R}$ 是蕴涵 $R$ 的最小等价关系.

2性质

定理 2.1. 二元谓词范畴可以由如下拉回方块定义: $$\mathsf{Rel}\mathsf{Pred}\mathsf{Set}\mathsf{Set}U┌U\Delta$$其中的两个 $U$ 分别是 1.2 中的遗忘函子和谓词范畴的遗忘函子.

定理 2.2. 在 1.4 和 1.5 中定义的函子是一对伴随函子: $$Q⊣E$$

证明. 考虑 $R\subseteq I\times I$.

展开 $Q$ 和伴随函子的定义, 这也就是说如下两集合关于 $I$ 和 $(I,R)$ 自然同构: $$\mathsf{Set}(I/\overline{R},J)\simeq \mathsf{Rel}((I,R),E(J))$$进一步展开二元谓词范畴中态射的定义, 考虑集合映射 $u:I\to J$ 满足$$\forall i,j\in R,((i,j)\in R⟹u(i)=u(j))$$这意味着 $u$ 是二元谓词范畴中的态射 $u\in \mathsf{Rel}((I,R),E(J))$.

这个伴随关系可以看作是如下交换图中的虚线 $v$ 对于 $u$ 唯一存在: $$II/\overline{R}Juv$$

$\square$