拉回 (范畴论)

关于其它含义, 请参见 “拉回”.

在范畴论中, 拉回 (或称纤维积、Descartes 方块) 是一种万有构造, 描述的大概是下述情形:

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在某个范畴中, 我们把对象视为空间. 假设有两个态射 $f:B\to D$ 与 $g:C\to D$, 这里 $B,C,D$ 都是空间. 那么, 对每个 “点” $d\in D$, 考虑态射 $f,g$ 的纤维, 即点 $d$ 的原像, 我们将其记为 $B_d$ 与 $C_d$. 我们将 $B$ 视为所有纤维 $B_d$ 拼起来得到的空间, 而将 $C$ 视为所有 $C_d$ 拼起来得到的空间. 我们把这两个纤维乘起来, 得到 $B_d\times C_d$. 最后, 把所有的乘积 $B_d\times C_d$ 拼起来, 得到一个大空间 $B{\times }_{D}C$, 这就是 $B$ 与 $C$ 沿 $D$ 的纤维积. 我们也有一个态射 $B{\times }_{D}C\to D$, 其在点 $d$ 的纤维就是 $B_d\times C_d$.

拉回常常用图表$$ABCD┌$$来表示, 这里 $A=B{\times }_{D}C$ 是 $B$ 与 $C$ 沿 $D$ 的纤维积.

拉回是推出的对偶.

1定义

定义 1.1 (拉回). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 对于 $\mathcal{C}$ 中的图表$$BCD\text{, }fg$$如果这个图表具有极限, 就把这个极限叫做 $B,C$ 关于 $D$ 沿映射 $f,g$ 的拉回.

具体地说, 该拉回是指交换图表$$ABCD\text{ ,}{g}^{\prime }{f}^{\prime }fg$$它满足以下万有性质: 对任意对象 $A^{\prime }\in \mathcal{C}$, 如果有交换图表$$A^{\prime }BCD\text{ ,}{g}^{\prime \prime }{f}^{\prime \prime }fg$$则存在唯一的态射 $h:A^{\prime }\to A$, 使得以下图表交换: $$A^{\prime }ABCD\text{ .}{f}^{\prime \prime }{g}^{\prime \prime }\exists !h{g}^{\prime }{f}^{\prime }fg$$

拉回常常用图表$$ABCD┌$$表示, 有时也用$$ABABCDCD┘\square$$来表示. 此图表称为拉回图表或拉回方块.

拉回得到的对象 $A$ 常常记为$$A=B\underset{f,D,g}{\times }C\text{或}A=B\underset{D}{\times }C,$$其中 $f,g$ 是上述定义中的态射.

2例子

•	集合的纤维积可以如下描述. 设 $f:B\to D$ 与 $g:C\to D$ 为集合映射. 则$$B\underset{D}{\times }C=\{(b,c)\in B\times C\mid f(b)=g(c)\},$$其中 $B\times C$ 为 Descartes 积. 这也等价于说$$B\underset{D}{\times }C=\coprod _{d\in D}{f}^{-1}(d)\times g^{-1}(d),$$不过前一种描述更加自然.

•	拓扑空间的纤维积是纤维积空间.

•	概形的纤维积是纤维积概形.

•	群胚、范畴的纤维积是纤维积范畴. 但需注意, 这里的拉回实际上是 $2$-拉回, 故并不严格符合本文的定义.

3注释

•	称拉回为 “Descartes 方块” 是由于拉回是 Descartes 积的推广; 显然在 Descartes 的年代并没有范畴论. 在汉语文献中鲜见此称谓.

4相关概念

•	$2$-拉回、同伦拉回

术语翻译

拉回 • 英文 pullback • 德文 Pullback (n) • 法文 pullback (m)

纤维积 • 英文 fibre(d) product • 美式英文 fiber(ed) product • 德文 Faserprodukt (n) • 法文 produit fibré (m)

Descartes 方块 • 英文 cartesian square • 德文 kartesisches Quadrat (n)