二次型

约定. 在本文中,

• 所有环都是交换环.

二次型是线性代数中的概念, 是向量空间上二次齐次多项式函数的更典范 (即不依赖于基的选取) 的说法. 如函数$$V\to k,(x,y)\mapsto 4x^2-2xy+3y^2$$可以视为 $k^2$ 上的二次型.

1定义

定义 1.1. 域 $k$ 的线性空间 $V$ 上二次型指的是函数 $q:V\to k$, 满足对任意 $v\in V$, $a\in k$ 有 $q(av)=a^{2}q(v)$, 且 $B_q(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)$ 是 $V$ 上双线性型. 也称 $(V,q)$ 为二次空间. 于是可定义二次空间之间的同态为保持二次型的线性映射.

定义 1.2. 设 $V$ 为有限维 $k$-线性空间. 称 $V$ 上二次型 $q$ 为非退化, 指的是: $$\{\begin{array}{ll}{B}_q为非退化,& \mathrm{char}k\ne 2或2\mid \dim V;\\ B_q的根为一维,且q限制在其上非零,& \mathrm{char}k=2且2\nmid \dim V.\end{array}$$

定义 1.3. 设 $(V,q)$ 是二次空间. 若 $q(v)=0$, 则称 $v$ 为迷向向量. 如子空间 $W\subseteq V$ 中向量都是迷向向量, 则称 $W$ 为迷向子空间.

2性质

当 $k$ 的特征非 $2$ 时, 二次型与对称双线性型一一对应.

命题 2.1. $k$ 是域, $\mathrm{char}k\ne 2$, $V$ 是 $k$-线性空间. 则有一一对应$$\{V上二次型q\}\leftrightarrow \{V上对称双线性型B\},$$两个方向映射分别为 $q\mapsto B_q(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)$ 与 $B\mapsto q_B(v)=\frac{1}{2}B(v,v)$.

因此这时谈论二次型和谈论对称双线性型是完全相同的, 一些双线性型的理论也可以移植过来. 例如二次空间中的向量也有正交的概念, 也可以谈论正交补、核等概念. 相应理论是完全平行的: 二次型非退化等价于相应的双线性型核为 $0$; 迷向等价于正交补包含本身.

3分类

(特殊域上的二次型分类...)

4推广

定义 4.1. 环 $R$ 的模 $M$ 上二次型指的是函数 $q:M\to R$, 满足对任意 $m\in M$, $r\in R$ 有 $q(rm)=r^{2}q(m)$, 且 $B_q(m,n)=q(m+n)-q(m)-q(n)$ 是 $M$ 上双线性型. 当 $M$ 为有限生成投射模时, 称 $q$ 为非退化, 指的是其在环 $R$ 各个素理想的剩余域处非退化.

命题 4.2. $R$-模 $M$ 上的二次型相当于 ${\Gamma }^{2}M$ 到 $R$ 的映射, 其中 $\Gamma$ 指除幂积.

注 4.3. 于是命题 2.1 便可解释为, 当 $2\in R^{\times }$ 时, 自然映射 ${\mathrm{Sym}}^{2}M\to {\Gamma }^{2}M$ 是同构.

5相关概念

•	正交群
•	对称双线性型
•	类域论
•	模形式
•	$L$ 理论

术语翻译

二次型 • 英文 quadratic form • 德文 quadratische Form • 法文 forme quadratique • 拉丁文 forma quadratica

非退化 • 英文 nondegenerate • 德文 nicht ausgeartet • 法文 non dégénéré • 拉丁文 non degeneratus

迷向 • 英文 isotropic • 德文 isotrop • 法文 isotropique • 拉丁文 isotropicus