素理想

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

素理想是素数在一般交换环上的推广.

在代数–几何对偶中, 一个交换环相应的空间 (即它的谱) 是它的所有素理想给出, 一个素理想即对于空间的一个点.

素理想一般使用哥特体字母 $\mathfrak{p}$ 表示.

1定义

定义 1.1. 交换环 $A$ 的理想 $\mathfrak{p}$ 称为素理想, 如果它不是 $A$ 本身, 且对任意 $x,y\in A$, $xy\in \mathfrak{p}$, 有 $x\in \mathfrak{p}$ 或 $y\in \mathfrak{p}$ 成立.

注 1.2. 上述定义是如下素数性质在一般交换环上的推广: 对整数 $x,y$ 和素数 $p$, 如 $p\mid xy$, 有 $p\mid x$ 或 $p\mid y$ 成立. 当 $A$ 为整数环 $\mathbb{Z}$ 时, 它的素理想即是由某个素数生成的理想或零理想.

2性质

命题 2.1. 交换环 $A$ 的理想 $\mathfrak{a}$ 是素理想, 当且仅当商环 $A/\mathfrak{a}$ 是整环.

命题 2.2. 极大理想是素理想. 因此, 每个非零交换环都有素理想.

更一般地, 满足一些条件的理想中极大者通常是素的.

命题 2.3. $A$ 是环, $S$ 是其乘性子集. 则与 $S$ 无交的理想中极大元是素理想.

证明. 设 $\mathfrak{p}$ 是这样一个极大元. 则对 $a,b\notin \mathfrak{p}$, 有 $\mathfrak{p}+(a)$ 与 $\mathfrak{p}+(b)$ 都与 $S$ 有交. 则由乘性, $(\mathfrak{p}+(a))(\mathfrak{p}+(b))$ 也与 $S$ 有交. 而$$(\mathfrak{p}+(a))(\mathfrak{p}+(b))\subseteq \mathfrak{p}+(ab),$$故 $\mathfrak{p}+(ab)$ 也与 $S$ 有交, 从而 $ab\notin \mathfrak{p}$.

$\square$

3例子

•	域上的多项式环 $k[x_1,\dots ,x_n]$ 中, 由一个不可约多项式生成的理想是素理想, 零理想也是素理想.
•	整数环 $\mathbb{Z}$ 中, 由一个素数生成的理想是素理想, 零理想也是素理想.

4相关概念

•

谱

术语翻译

素理想 • 英文 prime ideal • 德文 Primideal • 法文 idéal premier • 拉丁文 ideal primum • 古希腊文 πρῶτον ἰδεῶδες