代数理论

在泛代数中, 代数理论指的是对一类代数对象的描述. 例如群公理 (或者说群的定义) 构成代数理论. 具体的群则是此代数理论的模型. 粗略而言, 代数理论中规定了一些运算, 以及这些运算需要满足的等式.

1直观

许多数学结构都可以归结为一个集合 $S$ 上面配备许多运算 $S^n\to S$, 满足一些条件. 如群配备了三个运算, 乘法, 逆元, 单位元. 其中单位元是零元运算. 给定环 $R$, $R$-模 $M$ 则可以视作给每个 $r\in R$ 都配备了一个运算 $m_r:M\to M$ 表示数乘.

直观上说, 将群、环、模这些代数结构与域或者整环这些代数学中也会研究的非代数结构区分开来的, 是前者的公理中只涉及到等式. 域的定义中需要 $x\ne 0$ 这个不等式以定义乘法逆元, 整环的定义中有 $a\cdot b=0⟹a=0\vee b=0$ 这种不纯是等式的公理. 当然, 这不保证没有域或者整环其他的某种定义, 与原先的定义等价, 但是只用到等式.

代数结构有一些显著性质, 例如存在自由代数结构, 可以定义代数结构的直积, 可以谈论子代数结构 (即在对应的代数操作下封闭的子集), 同态的像也是代数结构, 等等. 这就排除了域结构, 因为不存在 ${\mathbb{F}}_2\times {\mathbb{F}}_3$ 的 “乘积域”.

以上的代数结构都只有一种元素, 我们也可以考虑多类元素构成的代数结构. 例如以上 $R$-模是固定了 $R$ 讨论的, 我们也可以一并讨论所有的模, 即两个集合 $(R,M)$, 配备了 ${+}_R,{\times }_R,{+}_M,{\times }_{R,M}$ 四种运算, 满足一些等式. 只有一类元素的代数结构称为单类的.

我们当然也不必局限于集合范畴 $\mathsf{Set}$. 例如在拓扑空间的范畴 $\mathsf{Top}$ 中可以将群的定义照搬过来, 就得到了拓扑群. 以下用范畴语言定义代数结构, 动机之一就是使得容易推广到集合范畴以外的情况.

2定义

(或许挪到对应条目)

单类代数理论

多类代数理论

无穷元运算

本质代数理论

单子

3模型–模类比

代数理论与模型的关系, 非常像环与模的关系. 事实上后者是前者的特例. 按照此类比关系, 可以定义模型的张量积、双模型等等概念. 同时也有一批模论的定理有对应的推广.

术语翻译

代数理论 • 英文 algebraic theory

单类代数理论 • 英文 single-sorted algebraic theory

本质代数理论 • 英文 essentially algebraic theory