凝聚意象

凝聚意象是有一定有限性条件的意象, 推广了谱空间的层范畴与一阶理论的分类意象.

1定义

定义 1.1. 称景 $\mathcal{C}$ 为凝聚景, 指 $\mathcal{C}$ 有有限极限, 且其每个覆盖都有有限子覆盖. 这种景的层范畴称为凝聚意象.

2例子

•	设 $X$ 是谱空间, 则 $X$ 中拟紧开集构成拓扑基. 注意它们又构成凝聚景, 所以 $\mathsf{Sh}(X)$ 是凝聚意象.
•	类似地, 对拟紧拟分离概形 $X$, 其上的平展景、fppf 景都是凝聚景, 对应的意象是凝聚意象.
•	凝聚范畴上都有自然的 Grothendieck 拓扑, 使之成为凝聚景, 对应的意象成为凝聚意象. 特别地, 一阶理论的分类意象是凝聚意象.

3性质

定义 1.1 对于意象而言是个外蕴定义, 不过它有以下内蕴刻画.

命题 3.1. 意象 $\mathcal{X}$ 是凝聚意象, 当且仅当其中拟紧拟分离对象构成一族生成元.

一个重要性质是以下 Deligne 完备性定理, 证明参见主条目.

定理 3.2. 凝聚意象有足够点. 具体地说, 存在一族几何态射 $\{p_i:\ast \to \mathcal{X}{\}}_{i\in I}$, 使得对 $\mathcal{X}$ 中任一态射 $f:a\to b$, 只要对任一 $i\in I$ 都有 $p_i^{-1}(f)$ 是同构, 就有 $f$ 本身是同构.

4相关概念

•	凝聚范畴
•	谱空间
•	分类意象
•	Deligne 完备性定理

术语翻译

凝聚意象 • 英文 coherent topos • 法文 topos cohérent • 拉丁文 topus cohaerens • 古希腊文 συνεκτικὸς τόπος