极限 (范畴论)

关于其它含义, 请参见 “极限”.

极限是范畴论中的一种万有构造. 给定范畴 $\mathcal{C}$ 及其中一个图表, 例如$$K=\left(xyz\right),$$该图表的极限是一个对象 $k\in \mathcal{C}$, 使得对任何其它对象 $w\in \mathcal{C}$, 都有一一对应$$\{w\text{ 到 }k\text{ 的映射}\}\simeq \{w\text{ 到 }K\text{ 的映射}\},$$这里, $w$ 到 $K$ 的映射是指 $\mathcal{C}$ 中形如$$xwzy$$的交换图. 给定任何上述图表, 都能找到唯一的映射 $w\to k$, 使得由 $w$ 出发的所有箭头都可以分解经过该映射:$$xwkzy\exists !$$

上面这种形状的极限称为拉回. 除此之外, 我们也可以考虑各种不同的极限. 例如, 若$$K=\left(xy\right),$$也就是一个没有箭头的图表, 则其极限就是范畴中的积 $x\times y$. 若 $K$ 是空图表, 则其极限就是范畴中的终对象.

并不是在任何范畴中, 所有极限都存在. 其中极限都存在的范畴称为完备范畴. 例如, 集合范畴、拓扑空间范畴等等都是完备范畴. 也就是说, 可以在这些范畴中取任意的极限.

与极限对偶的概念是余极限.

1定义

定义 1.1 (极限). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $J$ 是小范畴. 设 $K:J\to \mathcal{C}$ 是函子, 我们将其视为 $\mathcal{C}$ 中的 “$J$ 形图表”.

则 $K$ 的极限, 如果存在, 是指以下信息:

•	对象 $x\in \mathcal{C}$.

•	对每个 $i\in J$, 有一个态射 $p_i:x\to K(i)$, 有时称为投影.

满足以下条件:

•	对任何 $i,j\in J$ 及 $a\in J(i,j)$, 都有交换图$$K(i)xK(j)\text{ .}K(a)p_i{p}_j$$

并且满足以下万有性质:

•	对任何 $x^{\prime }\in \mathcal{C}$, 若给定一族态射 $p_i^{\prime }:x^{\prime }\to K(i)$, 并对任何如上所述的 $i,j,a$, 都满足交换图$$K(i)x^{\prime }K(j)\text{ .}K(a)p_i^{\prime }{p}_j^{\prime }$$则存在唯一的态射 $f:x^{\prime }\to x$, 使得对任意 $i\in J$, 都有交换图$$K(i)x^{\prime }x\text{ .}{p}_i^{\prime }f{p}_i$$

此时, 常常直接将对象 $x$ 称为 $K$ 的极限, 并记为 $\lim K$.

注 1.2. 上述定义可以等价叙述如下:

•	记 $\mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})$ 为函子范畴. 则函子 $K:J\to \mathcal{C}$ 的极限是逗号范畴$$\mathcal{C}\underset{\mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})}{\vec{\times }}\ast$$的终对象. 这里 $\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})$ 的函子是将 $\mathcal{C}$ 的对象映到相应的常值函子; $\ast \to \mathsf{Fun}(J,\mathcal{C})$ 的函子映到 $K$.

2例子

我们沿用定义 1.1 的记号.

•	空图表的极限是范畴的终对象.

•	离散图表 (指没有箭头的图表) 的极限就是范畴中的积.

•	若 $J$ 有始对象, 则 $J$ 形图表的极限就是其始对象的取值.

•	形如 $x\rightrightarrows y$ 的图表的极限称为等子.

•	形如 $x\to z\leftarrow y$ 的图表的极限称为拉回.

•	若 $J$ 是有向集, 则 $J$ 形图表的极限称为反向极限. 例如, 形如 $\cdots \to x_2\to x_1$ 的图表的极限就属于这一类极限. 此时, 也记该极限为$$\underset{⟵}{\lim }{x}_i.$$

3相关概念

术语翻译

极限 • 英文 limit • 德文 Limes (m) • 法文 limite (f)