凸函数

凸函数是从 Euclid 空间的子集到实数的函数, 其图像是 “向下凸出” 的. 例如, 函数$$\begin{array}{rl}f:{\mathbb{R}}^2& ⟶\mathbb{R},\\ (x,y)& ⟼x^2+y^2\end{array}$$是凸函数, 因为其图像是个向下凸出的抛物面.

1定义

定义 1.1. 令 $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 为凸集. 称函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 为凸函数, 如果满足如下条件:

•	对于任意 $x_1,x_2\in X$ 及 $\lambda \in [0,1]$ , 有$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2).$$上述条件也可以借助矩阵来简写: 令 $\mathbf{t}=(\lambda ,1-\lambda )$, $\mathbf{x}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1}{x_2}\right)$, 则$$f(\mathbf{tx})\le \mathbf{t}f(\mathbf{x}).$$

称 $f$ 为严格凸函数, 如果满足如下条件:

•	对于任意 $x_1\ne x_2\in X$ 及 $\lambda \in ]0,1[$, 有$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2).$$

称 $f$ 为凹函数、严格凹函数, 若 $-f$ 是凸函数、严格凸函数.

2性质

基本性质

•	凸函数之集在加法、乘正实数下封闭.

•	对凸集 $X\subset \mathbb{R}$ 和凸函数 $f:X\to \mathbb{R}$, ∘ 对于任何实数 $r\in \mathbb{R}$, 子集 $\{x\in X\mid f(x)\le r\}$ 是凸集. ∘ 若 $f$ 是可微函数, 则 $f$ 的图像位于其在任一点处切平面的上方.

•	线性函数都是凸函数, 也是凹函数.

•	(Jensen 不等式) 设 $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 为凸集, $f:X\to \mathbb{R}$ 是凸函数. 则对任意的 $x_1,\cdots ,x_n\in X$ 和任意的 $t_1,\cdots ,t_n\in [0,1]$, 其中 $t_1+t_2+\cdots +t_n=1$, 有$$f(t_1{x}_1+\cdots +t_n{x}_n)\le t_{1}f(x_1)+\cdots +t_{n}f(x_n).$$

由二阶导数判别

命题 2.1. 设 $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 为凸开集, $f:X\to \mathbb{R}$ 是 $C^2$ 函数. 对 $x\in X$, 记 ${\nabla }^{2}f(x)$ 为 Hesse 矩阵.

•	若对任意 $x\in X$, ${\nabla }^{2}f(x)$ 为半正定矩阵, 则 $f$ 是凸函数.

•	若对任意 $x\in X$, ${\nabla }^{2}f(x)$ 为正定矩阵, 则 $f$ 是严格凸函数.

3相关概念

•

凸集

术语翻译

凸函数 • 英文 convex function