正、负定矩阵

在线性代数中, 正定矩阵、负定矩阵是两类实对称矩阵, 其对应的对称双线性型在非零向量上总是取正值、负值. 换言之, 其对应的双线性型是正、负定双线性型.

也有半正定矩阵、半负定矩阵的概念, 是指对应的对称双线性型总是取非负值、非正值.

1定义

对实对称矩阵

定义 1.1. 设 $n$ 是自然数, $A$ 为 $n\times n$ 实对称矩阵.

•	称 $A$ 为正定矩阵, 若对任意列向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$, 若 $v\ne 0$, 则 $v^{\top }Av>0$.

•	称 $A$ 为半正定矩阵, 若对任意列向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$, 有 $v^{\top }Av\ge 0$.

•	称 $A$ 为负定矩阵, 若对任意列向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$, 若 $v\ne 0$, 则 $v^{\top }Av<0$.

•	称 $A$ 为半负定矩阵, 若对任意列向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$, 有 $v^{\top }Av\le 0$.

对 Hermite 矩阵

2性质

特征值

命题 2.1. 设 $n$ 是自然数, $A$ 为 $n\times n$ 实对称矩阵或 Hermite 矩阵.

•	$A$ 正定, 当且仅当其特征值全为正实数.

•	$A$ 半正定, 当且仅当其特征值全为非负实数.

•	$A$ 负定, 当且仅当其特征值全为负实数.

•	$A$ 半负定, 当且仅当其特征值全为非负实数.

3相关概念

•

正、负定双线性型

术语翻译

正定矩阵 • 英文 positive definite matrix

半正定矩阵 • 英文 positive semidefinite matrix

负定矩阵 • 英文 negative definite matrix

半负定矩阵 • 英文 negative semidefinite matrix