凸集

凸集是实向量空间中看起来 “没有凹陷” 的子集. 严格来说, 这一性质是指, 该集合中任意两点间的线段都完全处于该集合内.

1定义

定义 1.1 (凸集). 称实向量空间 $V$ 的子集 $C$ 为凸集, 如其满足以下条件:

•	对任意 $x,y\in C$ 及 $\lambda \in [0,1]$, 都有$$\lambda x+(1-\lambda )y\in C.$$

定义 1.2 (严格凸集). 称 $\mathbb{R}$ 上拓扑向量空间 $V$ 的子集 $C$ 为严格凸集, 如其满足以下条件:

•	对任意 $x,y\in C$ 及 $\lambda \in ]0,1[$, 都有$$\lambda x+(1-\lambda )y\in C^{\circ },$$其中 $C^{\circ }$ 为 $C$ 的内部.

2性质

•	下列变换可以从凸集构造凸集: ∘ 仿射变换、透视变换将凸集变换到凸集. ∘ 凸集的内部是凸集. 任意一族凸集的交是凸集.

•	对凸集 $C$, 若 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in C$, 及 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$, 满足 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$, 则凸组合$$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\in C.$$

•	非空凸集都是星形集, 从而可缩, 从而连通.

3例子

•	任何实线性空间中, 空集和全空间都是凸集. 所有仿射子空间也都是凸集.

•	$\mathbb{R}$ 中的凸集只有空集和区间 (无论闭或开、有限或无限).

•	凸多边形是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的凸集; 凸多面体是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的凸集.

•	任何子集的凸包都是凸集.

4相关概念

•	星形集
•	凸包
•	凸函数
•	仿射子空间
•	Helly 定理
•	Hahn–Banach 定理
•	Krein–Milman 定理

术语翻译

凸集 • 英文 convex set • 德文 konvexe Menge (f) • 法文 ensemble convexe (m) • 拉丁文 copia convexa (f) • 古希腊文 κυρτὸν σύνολον (n)