多胞体

多胞体是 Euclid 几何以及组合几何中的概念, 直观上来说, $n$ 维 Euclid 空间中的多胞体是由一些 $n-1$ 维的多胞体围出来的连通区域. 例如一维多胞体就是线段; 二维多胞体就是多边形, 它由一些线段围出来; 三维多胞体就是多面体, 它由一些多边形围出来, 等等.

1定义

定义 1.1 (多胞体). ${\mathbb{R}}^n$ 中的多胞体是满足下面条件的子集:

•	它落在由半空间生成的集合代数中, 也就是说它可以通过形如$$\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid f(x)+c\ge 0\},f\in ({\mathbb{R}}^n{)}^{\ast },c\in \mathbb{R}$$的集合 (称为半空间) 通过有限次交、并、补等操作得到.
•	它是连通紧集.
•	${\mathbb{R}}^n$ 的微分流形结构为它赋予了 $n$ 维带角流形的结构.

这里第一条性质就是符合 “围起来” 的直观, 后两条是说它确实是个 “体”. 不过, 我们这里的定义排除了自交图形.

一些文献中, 也会直接把下面定义的凸多胞体直接称为多胞体.

定义 1.2 (凸多胞体). ${\mathbb{R}}^n$ 中的凸多胞体是多胞体中同时为 ${\mathbb{R}}^n$ 中凸集者, 这等价于在定义  1.1 的第一条中, 要求它是若干半空间的交, 而不能进行其它操作.

2性质

(...)

3相关概念

•	多边形
•	多面体
•	多胞区域

术语翻译

多胞体 • 英文 polytope • 德文 Polytop (n) • 法文 polytope (m) • 拉丁文 polytopum (n) • 古希腊文 πολύτοπον (n)