Euclid 几何

Euclid 几何是经典意义下的几何, 描述点、直线、圆等直观对象的性质以及位置关系. 它有 “分析” 和 “综合” 两种等价的描述方式.

在 “分析” 的观点之下, Euclid 几何即是研究 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中一些特殊的子集 (例如点、直线、圆等) 的性质, 而这些子集是使用代数手段定义的. 这种观点下的 Euclid 几何也就是中学所说的 “解析几何”, 虽然按照现代的观点来看, 它是基于实数 $\mathbb{R}$ 的代数几何, 因此坐标几何是更恰当的名字. 此外, 也可以将 Euclid 空间视为单连通、平坦的 Riemann 流形, 这样 Euclid 几何即是 Riemann 几何的分支.

“综合” 观点是说直接将需要研究的对象, 例如点、直线等视为基本的对象, 并满足一些公理. Euclid 本人在他的著作 Στοιχεία (《几何原本》) 中采用的就是这种观点, 只是他的公理化在现代观点看来已不严格. Hilbert 在他的著作 Grundlagen der Geometrie (《几何基础》) 中, 基于这种综合的观点用比较现代的语言写出了一些公理, 即 Hilbert 公理. 在现代也有一些其它的公理化方案, 例如 Birkhoff 公理、Tarski 公理等. 中学所学的 “平面几何” 即是基于此种观点.

上述 “分析” 与 “综合” 的描述方式的对立在其它数学领域中也有体现, 例如代数拓扑在主流数学中是分析的, 在同伦类型论中则是综合的.

1表述

分析型

参见: 坐标几何

在分析型的观点中, 几何对象视为 Euclid 空间 (即配有标准内积的 ${\mathbb{R}}^n$) 的子集, 例如:

•	点是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的元素.
•	直线是 ${\mathbb{R}}^n$ 的形如下式的子集$$\ell =\{x_1+x_{2}t\mid t\in \mathbb{R}\},$$其中 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$. 将 $\mathbb{R}$ 改为区间 $[0,+\infty )$ 或 $[0,1]$, 则得到射线、线段. 这样给定两个不同的点 $x_1,x_2$ 有唯一的直线包含它们, 即$$\{t{x}_1+(1-t)x_2\mid t\in \mathbb{R}\}.$$以两个不同的点 $x_1,x_2$ 为端点的线段是子集$$\{t{x}_1+(1-t)x_2\mid t\in [0,1]\}.$$
•	以点 $x_0$ 为圆心, 半径为 $r$ 的圆是$$\{x\in \mathbb{R}\mid |x_0-x|=r\}.$$这里 $|\cdot |$ 即为内积诱导的绝对值.

长度、角度、面积等量也可以使用代数的方法写出, 例如

•	以 $x_1$, $x_2$ 为端点的线段的长度是 $|x_1-x_2|$.
•	射线 (或线段) $\{x_0+tu\}$ 和 $\{x_0+tv\}$ 的夹角是$$\arccos \frac{⟨u,v⟩}{|u||v|}.$$

综合型

参见: Hilbert 公理

综合的观点是说首先给定两个集合, 代表所有的点和直线, (如果研究高维 Euclid 几何, 就再加上面、体等集合), 并建立它们之间的一些对应关系, 满足一些公理. 一种公理化方式, 称为 Hilbert 公理可概述如下:

•	第一组公理是连接公理, 即描述点和直线的关系, 例如给定两个不同的点会对应一条直线.
•	第二组公理是序公理, 即为一条直线上的所有点引入序关系, 这样便可以谈论 “线段”、“在…… 之间” 等概念.
•	第三组公理是平行公理, 即给定一条直线和直线外一点, 存在唯一一条过此点的直线与那条直线不交.
•	第四组公理是全等公理, 即引入所有线段间的一个等价关系, 称为 “全等”. 据此定义 “角” 的全等关系, 这样便可以谈论线段长度间的序关系, 也可以谈论线段长度间的和.
•	第五组公理是 Archimedes 公理, 即对任意两条线段, 其中任意一条放大某个倍数后都会比另一条长.
•	还可以加入完备公理, 即不能扩大点和直线的集合而保持这些公理仍然成立, 这是为了保证几何的 “唯一性”.

2研究论题

(...)

3相关概念

•	非 Euclid 几何
•	Riemann 几何
•	射影几何

术语翻译

Euclid 几何 • 英文 Euclidean geometry • 德文 Euklidische Geometrie • 法文 géométrie euclidenne • 拉丁文 geometria Euclidea • 古希腊文 εὐκλειδεία γεωμετρία