极限 (拓扑学)

极限是指一个拓扑空间中, 能被一个序列 (或其它对象) 任意逼近的点. 极限的一个直观的例子是, 实数的序列$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$$逐渐逼近 $0$, 但可以不真正取到 $0$ 这个值. 这时, 我们说这个序列的极限是 $0$, 记作$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0.$$

1定义

序列的极限

参见: 序列的极限

数列的极限是极限的最基本的例子.

定义 1.1 (数列的极限). 设 $\{x_n\in \mathbb{R}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ 是一个数列. 如果存在 $x\in \mathbb{R}$, 使得对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得对任意 $n>N$, 有$$|x_n-x|<\epsilon ,$$就说 $x$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限, 记为$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x.$$

这种概念也能推广到一般的拓扑空间.

定义 1.2 (序列的极限). 设 $X$ 是拓扑空间, $\{x_n\in X{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ 是 $X$ 中的一个序列. 如果存在 $x\in X$, 使得对 $x$ 的任意邻域 $U$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得对任意 $n>N$, 有 $x_n\in U$, 就说 $x$ 是序列 $\{x_n\}$ 的一个极限, 记为$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\to x.$$如果 $X$ 是 Hausdorff 空间, 那么序列的极限是唯一的. 此时, 我们记$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x.$$

函数的极限

参见: 函数的极限

定义 1.3 (函数的极限). 设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个函数, $x_0\in \mathbb{R}$ 是一个数. 如果存在 $y\in \mathbb{R}$, 使得对任意 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对任意 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\setminus x_0$, 有$$|f(x)-y|<\epsilon ,$$就说 $y$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $x_0$ 时的极限, 记为$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y.$$

这种概念也能推广到一般的拓扑空间.

定义 1.4 (映射的极限). 设 $X,Y$ 是拓扑空间, $x_0\in X$ 是一个点, $f:X\to Y$ 是一个映射 (不一定连续). 如果存在 $y\in Y$, 使得对 $y$ 的任意邻域 $V\subset Y$, 存在 $x_0$ 的邻域 $U\subset X$, 使得 $f(U\setminus \{x_0\})\subset V$, 就说 $y$ 是映射 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $x_0$ 时的一个极限, 记为$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\to y.$$如果 $Y$ 是 Hausdorff 空间, 那么序列的极限是唯一的. 此时, 我们记$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y.$$

滤子的极限

(...)

网的极限

(...)

2相关概念

•	Cauchy 序列
•	完备空间、完备化

术语翻译

极限 • 英文 limit • 德文 Grenzwert (m) • 法文 limite (f) • 拉丁文 limes (m) • 古希腊文 ὄριον (n)