模空间

在某些情况下, 一类数学对象的全体能与一个空间的所有点对应, 这样的空间就叫做模空间. 例如, 射影空间可看作一维线性子空间的模空间; 更一般地, Graßmann 流形可以看作线性子空间的模空间.

对模空间的研究起源于对紧 Riemann 面的模空间 (也即代数曲线模空间) 的研究. Riemann 发现可以用若干参数来刻画紧 Riemann 面的同构类, 这些参数构成的空间就是我们后来说的模空间.

有时, 模空间并不是通常意义下的空间 (例如流形、概形), 而是具有更复杂结构的空间, 例如轨形, 其中某些点带有非平凡的自同构. 此时, 我们常常将模空间视为叠, 称为模叠. 模叠常常是一些具有较好性质的叠, 例如 Deligne–Mumford 叠或 Artin 叠.

在文献中, 常常提到两种模空间, 分别称为粗模空间和细模空间. 大致地说, 前者只要求模空间的点与相应的数学对象对应, 而后者则要求模空间上有一个万有族, 使得任何一族数学对象都是这个万有族的拉回. 此外, 在代数几何中, 还有优模空间的理论, 这是几何不变量理论中的商簇向一般代数叠的推广.

1定义

2例子

3相关概念

术语翻译

模空间 • 英文 moduli space • 德文 Modulraum (m) • 法文 espace de modules (m)