同伦代数

同伦代数, 又称为范畴同伦论, 是将代数拓扑中同伦等概念和工具推广到更一般的范畴中的理论. 在同伦代数中, 我们指定某个范畴中的一些额外信息, 并通过这些信息来描述其通过局部化而得到的 $\infty$-范畴的性质.

同伦代数是高阶范畴论的理论基础, 它允许我们通过普通范畴的理论来描述高阶范畴. 高阶范畴论中的诸多概念都需要借助同伦代数来定义, 很多基础结论也需要在同伦代数的框架中证明.

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在代数拓扑中, 我们考虑拓扑空间的范畴. 空间之间有连续映射, 映射之间有同伦, 同伦之间又有高阶的同伦. 在同伦论中, 我们不太在意拓扑空间的同胚, 而更在意它们之间的同伦等价. 纤维化和余纤维化具有良好的提升性质, 可以通过它们构造纤维列、余纤维列等等. 这一系列理论实际上可以从拓扑空间范畴抽象出来, 而应用到其它具有类似性质的范畴中.

其中一个典型的应用就是同调代数. 同伦代数将同调代数视为其特例, 解释了下表中的对应关系.

代数拓扑	同调代数
拓扑空间	链复形
连续映射	链映射
同伦	链同伦
同伦等价	链同伦等价
同伦群	同调群
弱同伦等价	拟同构
映射锥	链映射锥
Puppe 序列	同调长正合列
CW 逼近	投射/内射消解
同伦范畴 $\mathsf{hCW}$	导出范畴 $\mathsf{D}(R)$
……	……

同伦代数的主要工具是模型范畴, 也就是包含上述额外信息的范畴.

在现代的观点中, 常常通过高阶范畴论, 即 $\infty$-范畴的理论, 来描述这些信息. 高阶范畴论更加简洁而一般, 因而是现代数学中主要使用的语言. 在这种观点下, 同伦代数为高阶范畴论提供了理论基础, 高阶范畴论的各种概念都需要通过同伦代数来定义.

术语翻译

同伦代数 • 英文 homotopical algebra • 法文 algèbre homotopique

范畴同伦论 • 英文 categorical homotopy theory