Tikhonov 定理

Tikhonov 定理是点集拓扑的重要定理, 说的是紧空间的乘积紧. 它与选择公理等价.

1陈述

定理 1.1. 设 $\{X_i{\}}_{i\in I}$ 是一族紧空间. 则它们的乘积 $X={\prod }_{i\in I}{X}_i$ 也紧.

2证明

Tikhonov 定理有几种证明方法, 从中都可看出选择公理的使用. 下面以 ${\pi }_i$ 记 $X={\prod }_{i\in I}{X}_i$ 往 $i\in I$ 分量的投影映射 $X\to X_i$.

用 Alexander 亚基定理

则由积拓扑的定义, 形如 ${\pi }_j^{-1}(U_j)$ 的集合生成 $X={\prod }_{i\in I}{X}_i$ 的积拓扑, 其中 $j$ 取遍 $I$ 中元素, $U_j$ 取遍 $X_j$ 中开集. 换言之, 这样的集合构成 $X$ 的亚基. 于是由 Alexander 亚基定理, 只需证由这样的集合构成的覆盖 $X={\bigcup }_{\lambda \in \Lambda }{V}_{\lambda }$ 有有限子覆盖. 如果某个 $V_{\lambda }$ 是全集, 则它自己就构成有限子覆盖. 否则每个 $V_{\lambda }$ 都是一个分量 $j(\lambda )\in I$ 的开真子集 $U_{\lambda }$ 与其它分量的全集相乘. 对 $i\in I$, 记$${\Lambda }_i=\{\lambda \in \Lambda \mid j(\lambda )=i\}.$$如存在 $i\in I$ 使得 $X_i={\bigcup }_{\lambda \in {\Lambda }_i}{U}_{\lambda }$, 则由 $X_i$ 的紧性, $U_{\lambda }$ 中有限个覆盖 $X_i$, 于是对应的 $V_{\lambda }$ 覆盖 $X$, 这样就得到了有限子覆盖. 如对每个 $i\in I$ 都有 $X_i\ne {\bigcup }_{\lambda \in {\Lambda }_i}{U}_{\lambda }$, 则取 $x_i\in X_i$, $x_i\notin {\bigcup }_{\lambda \in {\Lambda }_i}{U}_{\lambda }$, 不难发现 $(x_i{)}_{i\in I}\in X$ 不在各个 $V_{\lambda }$ 中, 与 $X={\bigcup }_{\lambda \in \Lambda }{V}_{\lambda }$ 矛盾! 所以这种情况不发生, 开覆盖 $X={\bigcup }_{\lambda \in \Lambda }{V}_{\lambda }$ 总有有限子覆盖.

用超滤子

回忆拓扑空间紧当且仅当其每个超滤子都收敛. 故为证明 $X$ 紧, 任取其超滤子 $\mathcal{U}$. 令 ${\mathcal{U}}_i={{\pi }_i}_{\ast }\mathcal{U}$ 为超滤子前推, 则由于 $X_i$ 紧, ${\mathcal{U}}_i$ 收敛, 设 $x_i\in X_i$ 是其极限. 令 $x=(x_i{)}_{i\in I}\in X$, 我们来说明 $x$ 是 $\mathcal{U}$ 的极限. 为此只需证 $x$ 的任一邻域都属于 $\mathcal{U}$. 由于滤子对有限交封闭, 只需证 $x$ 的任一形如 ${\pi }_i^{-1}(U_i)$ 的邻域都属于 $\mathcal{U}$, 其中 $U_i$ 是 $x_i\in X_i$ 的邻域. 这自然是因为 $x_i$ 是 ${\mathcal{U}}_i={{\pi }_i}_{\ast }\mathcal{U}$ 的极限, $U_i\in {\mathcal{U}}_i={{\pi }_i}_{\ast }\mathcal{U}$, 从而由前推的定义 ${\pi }_i^{-1}(U_i)\in \mathcal{U}$.

3推论

上面证明 Tikhonov 定理时用到了选择公理. 反过来可用 Tikhonov 定理推出选择公理:

定理 3.1. 在 ZF 公理下, Tikhonov 定理推出选择公理.

证明. 设 $\{A_i{\}}_{i\in I}$ 是一族非空集合, 我们来用 Tikhonov 定理推出其乘积 ${\prod }_{i\in I}{A}_i$ 非空. 为此作空间 $X_i=A_i\bigsqcup \ast$, 其中 $A_i$ 赋余有限拓扑, $\ast$ 为单点. 由于余有限拓扑紧, 两个紧空间的无交并紧, 各 $X_i$ 都紧. 于是由 Tikhonov 定理, $X={\prod }_{i\in I}{X}_i$ 紧. 对 $j\in I$ 令 $V_j={\pi }_j^{-1}(A_j)$, 为 $X$ 中闭集. 由于在有限个 $A_j$ 中各选一个元素不需要选择公理, 知对任意有限子集 $J\subseteq I$ 都有 ${\bigcap }_{j\in J}{V}_j\ne \varnothing$. 这样由 $X$ 的紧性, ${\prod }_{i\in I}{A}_i={\bigcap }_{i\in I}{V}_i\ne \varnothing$, 得所欲证.

$\square$

注 3.2. 上面的证明用到了不 Hausdorff 的紧空间: 余有限拓扑. 事实上这是必须的, 也就是说 Hausdorff 空间的 Tikhonov 定理无法推出选择公理. 这是因为 Hausdorff 空间中超滤子只能收敛到至多一个点, 从而在上面 用超滤子 的证明中, 如各 $X_i$ 都 Hausdorff, 选择各 $x_i$ 这一步就不需要选择公理, 于是可能用到选择公理的只剩 “紧当且仅当每个超滤子都收敛” 这一命题, 而它只需要超滤引理便可推出. 由于超滤引理严格弱于选择公理, 用它推出的 Hausdorff 空间 Tikhonov 定理自然也会严格弱于选择公理.

命题 3.3. 紧 Hausdorff 空间的任意极限还是紧 Hausdorff 空间, 且只要其中任意有限极限非空, 整个极限就非空.

此外 Banach–Alaoglu 定理以及 Stone–Cech 紧化的存在性都是 Tikhonov 定理的推论, 详见对应主条目.

4相关概念

•	选择公理
•	Alexander 亚基定理
•	超滤子
•	Banach–Alaoglu 定理
•	Stone–Cech 紧化

术语翻译

Tikhonov 定理 • 英文 Tikhonov’s theorem • 德文 Satz von Tikhonov • 法文 théorème de Tikhonov