Nisnevich 景

在代数几何中, Nisnevich 景是概形范畴配以 Nisnevich 拓扑而得到的景. 该拓扑由 Nisnevich 覆盖定义, 其粗细程度介于 Zariski 拓扑和平展拓扑之间, 主要在母题论中使用. Nisnevich 拓扑比平展拓扑粗, 因为它只允许有理点能提升的平展覆盖. 其局部环也就是 Hensel 环而非严格 Hensel 环.

概形范畴上的一些常用拓扑列举如下, 按由粗到细排列:

Zariski $<$ Nisnevich $<$ 平展 $<$ 光滑 $<$ 合割 $<$ fppf $<$ fpqc

1定义

以 $\mathsf{Sch}$ 记概形的范畴.

定义 1.1. 设 $X$ 为概形.

•	$X$ 上的大 Nisnevich 景 ${\mathsf{Sch}}_{/X,\mathrm{Nis}}$ 定义为俯范畴 ${\mathsf{Sch}}_{/X}$, 其中开覆盖为 Nisnevich 覆盖.
•	$X$ 上的小 Nisnevich 景 $X_{\mathrm{Nis}}$ 定义为 $X$ 上平展的概形构成的范畴, 其中开覆盖为 Nisnevich 覆盖.

特别地, 大、小 Nisnevich 景和大、小平展景的范畴是一样的, 只是覆盖不同.

文献中 Nisnevich 景还有另一种定义, 使用以下概念.

定义 1.2 (Nisnevich 方块). 称拟紧拟分离概形的拉回方块$$WVUYfj$$为 Nisnevich 方块, 指:

•	$j$ 是开浸入;
•	$f$ 是平展态射;
•	$f$ 在 $Y\setminus U$ 上是同构;

拟紧拟分离概形 $X$ 上的大、小 Nisnevich 景分别定义为 $X$ 上所有拟紧拟分离概形、$X$ 上平展的拟紧拟分离概形构成的范畴, 其 Grothendieck 拓扑由空概形的空覆盖和所有 Nisnevich 方块的二元族 $(j,f)$ 生成.

下面将会看到这和定义 1.1 等价. 这个定义在检查层公理时比较方便.

2性质

定理 2.1. 定义 1.2 和定义 1.1 等价.

证明. 定义 1.2 列举的生成元显然都是 Nisnevich 覆盖, 故只需对任意拟紧拟分离概形 $X$ 证明其任意 Nisnevich 覆盖 $(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$ 都可被定义 1.2 中生成元的有限复合加细. 由 Nisnevich 覆盖条目中的相关定理, 存在有限表现闭子概形链$$\varnothing =Z_0\subset Z_1\subset \cdots \subset Z_n=X$$以及相应的一族有限表现平展态射 $(g_j:V_j\to X{)}_{j=1}^n$ 加细 $(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$, 使得 $g_j$ 在 $Y_j=Z_j\setminus Z_{j-1}$ 上是同构. 于是只需证 $(g_j:V_j\to X{)}_{j=1}^n$ 被定义 1.2 中生成元的有限复合加细. 我们对 $n$ 归纳. $n=0$ 时它是空概形的空覆盖. $n>0$ 时考虑 Nisnevich 方块$$(V_1{)}_{X\setminus Z_1}{V}_{1}X\setminus Z_{1}X{g}_1$$然后对 $X\setminus Z_1$ 上的态射族 $((g_j{)}_{X\setminus Z_1}:(V_j{)}_{X\setminus Z_1}\to X\setminus Z_1{)}_{j=2}^n$ 用归纳假设, 即得欲证.

$\square$

推论 2.2. 设 $X$ 是拟紧拟分离概形, $\mathcal{D}$ 是完备范畴, $F$ 是从 $X$ 上所有拟紧拟分离概形或者平展拟紧拟分离概形范畴出发, 取值在 $\mathcal{D}$ 上的预层. 则 $F$ 是 Nisnevich 层当且仅当:

•	$F$ 把空概形打到终对象;
•	$F$ 把 Nisnevich 方块打到拉回方块;

其中第二个条件常称为 $F$ 满足 Nisnevich 切除.

证明. 这是定理 2.1 和 cd 结构理论的立即推论.

$\square$

此推论在检查层公理时很有用.

命题 2.3. Nisnevich 拓扑的局部环是 Hensel 环.

证明. 回忆 $R$ 是 Nisnevich 拓扑的局部环指 $\mathrm{Spec}(R)$ 的任一 Nisnevich 覆盖都有截面. 由于 $\mathrm{Spec}(R)$ 拟紧, 把覆盖中的每个概形换成仿射开覆盖, 可只讨论仿射的有限覆盖; 由于仿射概形的无交并仍仿射, 可只讨论仿射的一元覆盖. 此时这就是 Hensel 环的若干等价条件之一, 参见 Hensel 环条目的相关命题.

$\square$

定理 2.4. 设 $X$ 为概形. 则 $X$ 的小 Nisnevich 景有足够的点, 由 $X$ 在每个点处的 Hensel 化给出. $X$ 的大 Nisnevich 景也有足够的点, 由 $X$ 上的所有 Hensel 环给出.

3例子

例 3.1. 代数 $K$ 理论, 准确地说不连合 $K$ 理论, 是 Nisnevich 层, 但不是平展层. 为验证它是 Nisnevich 层, 由推论 2.2 只需验证它满足 Nisnevich 切除, 因为 $K(\varnothing )=0$ 是显然的. 任取 Nisnevich 方块$$WVUYj$$需要验证其代数 $K$ 理论是拉回方块. 由于完美复形可以 Nisnevich 下降 (甚至可以平坦下降), 由推论 2.2 它满足 Nisnevich 切除, 也就是说$$\mathsf{Perf}(W)\mathsf{Perf}(V)\mathsf{Perf}(U)\mathsf{Perf}(Y)$$是稳定 $(\infty ,1)$-范畴的拉回方块. 记 $Z=Y\setminus U=V\setminus W$, 取横向纤维得$$\mathsf{Perf}(W)\mathsf{Perf}(V){\mathsf{Perf}}_Z(V)\mathsf{Perf}(U)\mathsf{Perf}(Y){\mathsf{Perf}}_Z(Y)$$而由 $j_{\ast }:\mathsf{D}(U)\to \mathsf{D}(Y)$ 和 $(j_V{)}_{\ast }:\mathsf{D}(W)\to \mathsf{D}(V)$ 满忠实, 不难得知横向的纤维列是 Karoubi 列, 被代数 $K$ 理论打到谱的纤维列. 所以$$K(W)K(V)K(U)K(Y)$$也是拉回方块.

4相关概念

•	Hensel 环
•	cd 结构
•	cdh 拓扑

术语翻译

Nisnevich 景 • 英文 Nisnevich site