Nisnevich 景

代数几何中, Nisnevich 景概形范畴配以 Nisnevich 拓扑而得到的. 该拓扑由 Nisnevich 覆盖定义, 其粗细程度介于 Zariski 拓扑平展拓扑之间, 主要在母题论中使用. Nisnevich 拓扑比平展拓扑粗, 因为它只允许有理点能提升的平展覆盖. 其局部环也就是 Hensel 环而非严格 Hensel 环.

概形范畴上的一些常用拓扑列举如下, 按由粗到细排列:

Zariski Nisnevich 平展 光滑 合割 fppf fpqc

1定义

概形的范畴.

定义 1.1. 为概形.

上的大 Nisnevich 景 定义为俯范畴 , 其中开覆盖为 Nisnevich 覆盖.

上的小 Nisnevich 景 定义为 平展的概形构成的范畴, 其中开覆盖为 Nisnevich 覆盖.

特别地, 大、小 Nisnevich 景和大、小平展景的范畴是一样的, 只是覆盖不同.

文献中 Nisnevich 景还有另一种定义, 使用以下概念.

定义 1.2 (Nisnevich 方块).拟紧拟分离概形的拉回方块Nisnevich 方块, 指:

开浸入;

平展态射;

上是同构;

拟紧拟分离概形 上的大、小 Nisnevich 景分别定义为 上所有拟紧拟分离概形、 上平展的拟紧拟分离概形构成的范畴, 其 Grothendieck 拓扑由空概形的空覆盖和所有 Nisnevich 方块的二元族 生成.

下面将会看到这和定义 1.1 等价. 这个定义在检查层公理时比较方便.

2性质

定理 2.1. 定义 1.2 和定义 1.1 等价.

证明. 定义 1.2 列举的生成元显然都是 Nisnevich 覆盖, 故只需对任意拟紧拟分离概形 证明其任意 Nisnevich 覆盖 都可被定义 1.2 中生成元的有限复合加细. 由 Nisnevich 覆盖条目中的相关定理, 存在有限表现闭子概形链以及相应的一族有限表现平展态射 加细 , 使得 上是同构. 于是只需证 被定义 1.2 中生成元的有限复合加细. 我们对 归纳. 时它是空概形的空覆盖. 时考虑 Nisnevich 方块然后对 上的态射族 用归纳假设, 即得欲证.

推论 2.2. 是拟紧拟分离概形, 完备范畴, 是从 上所有拟紧拟分离概形或者平展拟紧拟分离概形范畴出发, 取值在 上的预层. 则 是 Nisnevich 层当且仅当:

把空概形打到终对象;

把 Nisnevich 方块打到拉回方块;

其中第二个条件常称为 满足 Nisnevich 切除.

证明. 这是定理 2.1cd 结构理论的立即推论.

此推论在检查层公理时很有用.

命题 2.3. Nisnevich 拓扑的局部环是 Hensel 环.

证明. 回忆 是 Nisnevich 拓扑的局部环指 的任一 Nisnevich 覆盖都有截面. 由于 拟紧, 把覆盖中的每个概形换成仿射开覆盖, 可只讨论仿射的有限覆盖; 由于仿射概形的无交并仍仿射, 可只讨论仿射的一元覆盖. 此时这就是 Hensel 环的若干等价条件之一, 参见 Hensel 环条目的相关命题.

定理 2.4. 为概形. 则 的小 Nisnevich 景有足够的点, 由 在每个点处的 Hensel 化给出. 的大 Nisnevich 景也有足够的点, 由 上的所有 Hensel 环给出.

3例子

例 3.1. 代数 理论, 准确地说不连合 理论, 是 Nisnevich 层, 但不是平展层. 为验证它是 Nisnevich 层, 由推论 2.2 只需验证它满足 Nisnevich 切除, 因为 是显然的. 任取 Nisnevich 方块需要验证其代数 理论是拉回方块. 由于完美复形可以 Nisnevich 下降 (甚至可以平坦下降), 由推论 2.2 它满足 Nisnevich 切除, 也就是说稳定 -范畴的拉回方块. 记 , 取横向纤维得而由 满忠实, 不难得知横向的纤维列是 Karoubi 列, 被代数 理论打到的纤维列. 所以也是拉回方块.

4相关概念

Hensel 环

cd 结构

cdh 拓扑

术语翻译

Nisnevich 景英文 Nisnevich site