平坦景

在代数几何中, 平坦景是概形范畴上 Zariski 拓扑的高度加细, 这使其在模空间和 $p$-可除群理论中有广泛应用. 此外, 平坦景的拓扑不至于过细, 在此景上一些粘接性质仍然成立, 这些性质称为平坦下降.

常用的平坦景有 fppf 景和 fpqc 景两种, 其拓扑分别称为 fppf 拓扑和 fpqc 拓扑. 概形范畴上的其它常用拓扑列举如下, 按由粗到细排列:

Zariski $<$ Nisnevich $<$ 平展 $<$ 光滑 $<$ 合割 $<$ fppf $<$ fpqc

1定义

定义 1.1. $X$ 上的大 fppf 景 (fppf 全称忠实平坦有限表现) 为

•	对象: 所有有限表现态射 $Y\to X$.
•	态射: 与 $X$-概形结构相容的态射.
•	开覆盖为以下两类开覆盖的复合: ∘ Zariski 拓扑下的开覆盖 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$. ∘ 平坦、满、有限表现态射 $V\to U$.

$X$ 上的大 fpqc 景 (fpqc 全称忠实平坦拟紧) 与大 fppf 景类似, 只是将其中的 “有限表现” 性质换为 “拟紧”. 二者统称为 $X$ 上的大平坦景.

定义 1.2.

•	$X$ 上的小 fppf 景, 简称 fppf 景为由所有平坦、有限表现态射构成的子景, 记为 $X_{\mathrm{fppf}}$.
•	$X$ 上的小 fpqc 景, 简称 fpqc 景为由所有平坦、拟紧态射构成的子景, 记为 $X_{\mathrm{fpqc}}$.

二者统称为 $X$ 上的平坦景.

定义 1.3. 对态射 $X\to Y$, 其诱导相应的平坦景之间的态射$$\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{fppf}}\to Y_{\mathrm{fppf}}.\end{array}$$由 $U\mapsto U{\times }_{Y}X$ 给出.

2性质

命题 2.1. 对代数闭域 $k$ 上的大平坦景, $\mathrm{Spec}(k)$ 是其终对象. 且对小 fppf 景中任意对象 $X$, 存在足够态射 $\mathrm{Spec}(k)\to X$.

下面的性质反映了平坦景上的粘接性质.

命题 2.2. 在平坦景上可以构造一系列叠, 例如$$\begin{array}{c}X\mapsto \mathsf{QCoh}(X)\\ X\mapsto \mathsf{Aff}(X)\end{array}$$二者分别代表 $X$ 上所有拟凝聚层和仿射态射构成的范畴.

3相关概念

•	平展景
•	平坦下降

术语翻译

平坦景 • 英文 flat site • 法文 site plat

忠实平坦有限表现 • 英文 faithfully flat of finite presentation • 法文 fidèlement plat de présentation finie

忠实平坦拟紧 • 英文 faithfully flat and quasi-compact • 法文 fidèlement plat et quasi-compact