拓扑 Hochschild 同调

拓扑 Hochshcild 同调是 Hochschild 同调在基环为球谱 $\mathbb{S}$ 的特殊情况, 即 Hochschild 同调在 ${\mathbb{E}}_1$-环谱范畴的绝对版本. ${\mathbb{E}}_1$-环 $A$ 的拓扑 Hochschild 同调通常记为 $\mathrm{THH}(A)=\mathrm{HH}(A/\mathbb{S})$.

直观地说, 拓扑 Hochshcild 同调是 $A$ 沿圆周做张量积. 对 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环这一直观可以严格化: $\mathrm{THH}(A)$ 是 $A$ 在圆周上的余极限, 它是万有的带有圆周作用的 $A$-代数.

还有拓扑 Hochschild 上同调的公理化定义...

1定义

通过余幂

这种方法只能定义 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环的拓扑 Hochschild 同调. 以下所述的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环均在谱范畴 $\mathsf{Sp}$ 中.

定义 1.1 (Hochschild 同调). 设 $A$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环, 其 拓扑 Hochschild 同调 $\mathrm{THH}(A)$ 为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环范畴中的余幂 $A\otimes \mathbb{T}$, 即常值图表 $\mathbb{T}\to A$ 在此范畴中的余极限. 这里 $\mathbb{T}$ 表示圆周.

定义 1.2 (圆周作用). $\mathrm{THH}(A)$ 带有典范的 $\mathbb{T}$-作用: 事实上, 它是以下图表$$\ast \{{\mathbb{E}}_{\infty }\text{-环}\}\mathrm{B}\mathbb{T}\ast \mapsto A$$的水平映射沿映射 $\ast \to \mathrm{B}\mathbb{T}$ 的左 Kan 扩张在一点处的取值.

由 Kan 扩张的万有性质, Hochschild 同调也可用以下万有性质来定义.

定义 1.3 (万有定义). 对 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环 $A$, 考虑以下二元组构成的范畴:

•	一个带有 $\mathbb{T}$-作用的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环 $B$, 即函子 $\mathrm{B}\mathbb{T}\to \{{\mathbb{E}}_{\infty }\text{-环}\}$, 使其在一点处取值为 $B$;

•	一个 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环同态 $A\to B$ (它未必与 $\mathbb{T}$-作用相容).

Hochschild 同调 $\mathrm{THH}(A)$ 为此范畴中的始对象.

通过公理

2性质

除了 Hochschild 同调满足的一般性质之外, 拓扑 Hochschild 同调还有以下特殊性质.

分圆谱结构

使用两种观点均可自然地定义拓扑 Hochschild 同调上的分圆谱结构.

定义 2.1. 记 $C_p$ 为 $p$ 元循环群, 其中 $p$ 为素数, 则 $\mathrm{THH}(A)$ 上的 $\mathbb{T}$-作用诱导了 $C_p$-作用. 由于 $A^{\otimes p}$ 是同时有 $A$-代数与 $C_p$-作用的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环中万有者, 此作用诱导了 $C_p$-等变态射 $A^{\otimes p}\to \mathrm{THH}(A)$.

考虑以下交换图: $$A\mathrm{THH}(A)(A^{\otimes p}{)}^{t{C}_p}\mathrm{THH}(A{)}^{t{C}_p}$$这里 $t{C}_p$ 表示 Tate 构造, 实竖线是 Tate 对角态射. 则 $\mathrm{THH}(A{)}^{t{C}_p}$ 同时有 $\mathbb{T}/C_p\simeq \mathbb{T}$-作用与 $A$-代数结构, 这诱导了图中虚线态射. 此即拓扑 Hochschild 同调的分圆谱结构.

3例子

•	球谱的拓扑 Hochschild 同调 $\mathrm{THH}(S)$ 就是 $\mathbb{S}$, 带有 $\mathbb{T}$-平凡作用. 其分圆谱结构由 $\mathbb{S}\to {\mathbb{S}}^{h{C}_p}\to {\mathbb{S}}^{t{C}_p}$ 诱导, 其中上标 $h{C}_p$ 表示同伦不动点.

•	有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 的拓扑 Hochschild 同调的同伦环 ${\pi }_{\ast }\mathrm{THH}({\mathbb{F}}_p)$ 同构于多项式环 ${\mathbb{F}}_p[u]$, 其中 $u\in {\pi }_2\mathrm{THH}({\mathbb{F}}_p)$. 这是 Bökstedt 定理.

4相关概念

•	拓扑循环同调
•	分圆谱

术语翻译

拓扑 Hochschild 同调 • 英文 topological Hochschild homology • 德文 topologische Hochschild-Homologie (f) • 法文 homologie de Hochschild topologique (f)