Kan 扩张

在范畴论中, Kan 扩张是一种重要的万有构造. 函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 沿函子 $f:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$ 的 Kan 扩张是指 $F$ 的某种 “最佳逼近” $F^{\prime }:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{D}$, 如下图所示.$$\mathcal{C}\mathcal{D}{\mathcal{C}}^{\prime }fF{F}^{\prime }$$一般而言, 我们并不能找到 $F^{\prime }$ 使上图交换. 这是因为对每个 $x^{\prime }\in {\mathcal{C}}^{\prime }$, 其原像 $f^{-1}(x^{\prime })$ 可能被 $F$ 映到 $\mathcal{D}$ 中的若干不同的对象. 这时, 我们不再期望 $F^{\prime }(x^{\prime })$ 同构于这些对象 (这意味着上图交换), 而只是期望 $F^{\prime }(x^{\prime })$ 有到这些对象的态射, 或者这些对象有到 $F^{\prime }(x^{\prime })$ 的态射. 并且, 我们要求这些态射满足类似极限、余极限的万有性质. 这样, $F^{\prime }$ 就能唯一确定下来. 前一种情况 (类似极限) 称为右 Kan 扩张, 而后一种情况 (类似余极限) 称为左 Kan 扩张.

范畴论中的诸多万有构造都是 Kan 扩张的特例, 包括极限、余极限、伴随函子、导出函子等.

1定义

对于范畴

定义 1.1 (Kan 扩张). 设给定范畴和函子$$\mathcal{C}\mathcal{D}{\mathcal{C}}^{\prime }\text{ .}fF$$则 $F$ 沿 $f$ 的左 Kan 扩张, 如果存在, 是指函子 $G:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{D}$, 带有自然变换 $\alpha :F\Rightarrow G\circ f$, 满足以下万有性质:

•

对任何函子 $G^{\prime }:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{D}$ 以及任何自然变换 ${\alpha }^{\prime }:F\Rightarrow G^{\prime }\circ f$, 存在唯一的自然变换 $\beta :G\Rightarrow G^{\prime }$, 使得 ${\alpha }^{\prime }=\beta \star \alpha$, 其中 $\star$ 指垂直复合, 如下图所示. $$\mathcal{C}\mathcal{D}{\mathcal{C}}^{\prime }fF⟹\alpha ==⟹{\alpha }^{\prime }⟹\exists !\beta G{G}^{\prime }$$

此时, 记 $G={\mathrm{Lan}}_f(F)$.

与之对偶, $F$ 沿 $f$ 的右 Kan 扩张, 如果存在, 是指函子 $G:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{D}$, 带有自然变换 $\alpha :G\circ f\Rightarrow F$, 满足以下万有性质:

•

对任何函子 $G^{\prime }:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{D}$ 以及任何自然变换 ${\alpha }^{\prime }:G^{\prime }\circ f\Rightarrow F$, 存在唯一的自然变换 $\beta :G^{\prime }\Rightarrow G$, 使得 ${\alpha }^{\prime }=\alpha \star \beta$, 如下图所示. $$\mathcal{C}\mathcal{D}{\mathcal{C}}^{\prime }fF⟸\alpha ⟸=={\alpha }^{\prime }⟸\exists !\beta G{G}^{\prime }$$

此时, 记 $G={\mathrm{Ran}}_f(F)$.

一般 $2$-范畴中

2例子

我们采用定义 1.1 中的记号.

•	函子沿恒同函子的左、右 Kan 扩张均为其自身.

•	如果能找到一个真正的扩张, 即 $G:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{D}$ 使得 $G\circ f\simeq F$, 则 $G$ 同时是 $F$ 沿 $f$ 的左、右 Kan 扩张.

•	若 ${\mathcal{C}}^{\prime }=\ast$ 是单点范畴, 则函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 沿 $f:\mathcal{C}\to \ast$ 的左 Kan 扩张就是 $F$ 的余极限 $\mathrm{colim}F$; 其右 Kan 扩张就是 $F$ 的极限 $\lim F$.

•	恒同函子 $1_{\mathbb{C}}$ 沿 $f:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$ 的左、右 Kan 扩张分别为 $f$ 的右、左伴随函子.

•	若 $f:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$ 是局部化, 则函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 沿 $f$ 的左、右 Kan 扩张分别是 $F$ 的右、左导出函子.

3相关概念

术语翻译

Kan 扩张 • 英文 Kan extension • 德文 Kan-Erweiterung (f) • 法文 extension de Kan (f)