母题无穷环路机

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• 概形全都拟紧拟分离.
• 对概形 $S$, 以 ${\mathsf{Sch}}_S$ 记其上概形构成的范畴, 以 ${\mathsf{Sm}}_S$ 记其中光滑者构成的满子范畴.

母题无穷环路机是 ${\mathbb{A}}^1$-母题同伦论中里程碑式的成就, 由 Elmanto、Hoyois、Khan、Sosnilo、Yakerson 做出, 其证明本质地使用 Ananyevskiy、Garkusha、Neshitov、Panin 沿 Voevodsky 思路所做的具体计算.

母题无穷环路机是同伦论中 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群和连合谱的范畴等价 (有时称为 Segal 无穷环路机) 在母题同伦论的类比 (注 1.5), 能从带特定移送映射的预层 (定义 1.2) 出发恢复出母题谱, 从而给出母题上同调、代数配边等上同调理论的母题同伦论构造, 往往比以前的造法简明得多.

1陈述

固定概形 $S$.

定义 1.1 (带标架对应). 对 $X,Y\in {\mathsf{Sch}}_S$, $X$ 到 $Y$ 的带标架对应指如下数据:

1.	${\mathsf{Sch}}_S$ 中图表 $X\leftarrow Z\to Y$, 满足 $Z\to X$ 有限合割.
2.	余切复形 ${\mathrm{L}}_{Z/X}$ 的 $K$ 类在 $K(Z)$ 中的零伦.

它们构成的生象记作 ${\mathrm{Corr}}_S^{\mathrm{fr}}(X,Y)$. $S$ 上的概形沿带标架对应构成范畴, 记作 ${\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sch}}_S)$, 其中光滑者构成的满子范畴记作 ${\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sm}}_S)$. 取 $Z\to X$ 为 ${\mathrm{id}}_X$, 可得函子 ${\mathsf{Sch}}_S\to {\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sch}}_S)$, ${\mathsf{Sm}}_S\to {\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sm}}_S)$.

定义 1.2 (带标架移送). ${\mathsf{Sm}}_S$ 上带带标架移送的预层, 或简称标架移送预层, 指 ${\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sm}}_S)$ 上的预层, 它们构成的范畴记作 $\mathsf{P}({\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sm}}_S))$. 称一个标架移送预层满足 Nisnevich 下降、${\mathbb{A}}^1$-不变性, 指它限制到 ${\mathsf{Sm}}_S$ 之后满足相应性质. 这些东西构成的范畴记作 ${\mathsf{P}}_{\mathrm{Nis},{\mathbb{A}}^1}({\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sm}}_S))$.

定理 1.3 (母题无穷环路机). 我们有对称幺半范畴等价$${\mathsf{SH}}^{\mathrm{eff}}(S)\cong {\mathsf{P}}_{\mathrm{Nis},{\mathbb{A}}^1}({\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sm}}_S),\mathsf{Sp}),$$其中 ${\mathsf{SH}}^{\mathrm{eff}}(S)$ 指有效 ${\mathbb{A}}^1$-母题谱的范畴, 即 ${\mathbb{A}}^1$-母题谱范畴 $\mathsf{SH}(S)$ 中包含 ${\Sigma }_{{\mathbb{P}}^1}^{\infty }:{\mathsf{Sm}}_S\to \mathsf{SH}(S)$ 的像、在余极限下封闭的最小稳定子范畴. 两边的幺半结构都是张量积.

注 1.4. 显然可以忘掉带标架对应中的 “标架” $[{\mathrm{L}}_{Z/X}]=0$, 获得合割对应; 甚至可以把合割性忘掉, 获得有限局部自由对应. 换言之, 我们有自然的函子$${\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fr}}({\mathsf{Sm}}_S)\to {\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fsyn}}({\mathsf{Sm}}_S)\to {\mathsf{Corr}}^{\mathrm{flf}}({\mathsf{Sm}}_S);$$相应地, 带带更少数据移送的预层自然成为带带更多数据移送的预层. 事实上我们有$${\mathsf{Mod}}_{\mathrm{MGL}}({\mathsf{SH}}^{\mathrm{eff}}(S))\cong {\mathsf{P}}_{\mathrm{Nis},{\mathbb{A}}^1}({\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fsyn}}({\mathsf{Sm}}_S),\mathsf{Sp}),$$其中 $\mathrm{MGL}$ 表示代数配边理论, 见例 3.2; 此外我们猜想$${\mathsf{Mod}}_{\mathbb{Z}(0)}({\mathsf{SH}}^{\mathrm{eff}}(S))\cong {\mathsf{P}}_{\mathrm{Nis},{\mathbb{A}}^1}({\mathsf{Corr}}^{\mathrm{flf}}({\mathsf{Sm}}_S),\mathsf{Sp}),$$其中 $\mathbb{Z}(0)$ 表示母题上同调, 见例 3.1.

注 1.5. 暂时令 $S$ 是生象, 以 ${\mathsf{Ani}}_S$ 表示俯于 $S$ 上的生象构成的范畴. 对 $X,Y\in {\mathsf{Ani}}_S$, $X$ 到 $Y$ 的有限对应指 ${\mathsf{Ani}}_S$ 中图表 $X\leftarrow Z\to Y$, 满足 $Z\to X$ 是有限覆叠, 即纤维都是有限集. 类似地把 ${\mathsf{Ani}}_S$ 沿有限对应构成的范畴记作 ${\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fin}}({\mathsf{Ani}}_S)$. 则我们有对称幺半范畴等价$$({\mathsf{Sp}}_S{)}_{\ge 0}\cong {\mathsf{P}}_{\mathrm{colim}}({\mathsf{Corr}}^{\mathrm{fin}}({\mathsf{Ani}}_S),\mathsf{Ani}),$$其中等号左边指被 $S$ 参数化的一族连合谱, 右边指限制到 ${\mathsf{Ani}}_S$ 之后把余极限打到极限的预层. 定理 1.3 可视为此事在 ${\mathbb{P}}^1$ 方向的类比.

2解释

(解释母题谱如何成为标架移送预层.)

(陈述方程标架以及 Voevodsky 的关键引理.)

3应用

固定概形 $S$.

例 3.1 (母题上同调). 考虑 ${\mathsf{Sm}}_S$ 上的 $\mathbb{Z}$-模预层 $X\mapsto H_{\mathrm{Zar}}^0(X,\mathbb{Z})$, 即整值 Zariski 局部常函数. 它显然满足 Nisnevich 下降、${\mathbb{A}}^1$-不变, 且带有限局部自由移送, 因为有限局部自由态射的次数局部常. 特别地, 它是取值在 $\mathsf{D}(\mathbb{Z})$ 的标架移送预层 (注 1.4), 给出 $\mathbb{Z}$-线性母题谱 $\mathbb{Z}(0)\in \mathsf{SH}(S)$. 对 $n\in \mathbb{Z}$, 令 $\mathbb{Z}(n)[2n]={\Sigma }_{{\mathbb{P}}^1}^n\mathbb{Z}(0)\in \mathsf{SH}(S)$, 则它表示的上同调就是 ${\mathbb{A}}^1$-母题上同调. 当 $S$ 正则时这就给出母题上同调.

例 3.2 (代数配边).

4参考文献

•	Elden Elmanto, Marc Hoyois, Adeel A. Khan, Vladimir Sosnilo, Maria Yakerson (2021). “Motivic infinite loop spaces”. 431–549(doi) (web)

•	Marc Hoyois (2021). “The localization theorem for framed motivic spaces”. 1–11(doi) (web)

5相关概念

•	母题同伦论
•	母题上同调

术语翻译

母题无穷环路机 • 英文 motivic infinite loop machine

带标架对应 • 英文 framed correspondence

带带标架移送的预层 • 英文 presheaf with framed transfers