母题谱

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• 概形全都拟紧拟分离.
• 对景 $(\mathcal{C},\tau )$, 以 ${\mathsf{Sh}}_{\tau }(\mathcal{C})$ 记其上生象值层的范畴.
• 对概形 $S$, 以 ${\mathsf{Sch}}_S$ 记其上概形构成的范畴, 以 ${\mathsf{Sm}}_S$ 记其中光滑者构成的满子范畴.

母题谱, 或称 ${\mathbb{A}}^1$-母题谱, 由 Voevodsky 等人引入, 是谱的 ${\mathbb{A}}^1$-同伦论类比.

1定义

固定概形 $S$.

定义 1.1. 回忆 $S$ 上母题伦型的范畴$$\mathsf{H}(S)=\{F\in {\mathsf{Sh}}_{\mathrm{Nis}}({\mathsf{Sm}}_S)\mid \forall X\in {\mathsf{Sm}}_S,F(X)=F(X\times {\mathbb{A}}^1)\}.$$考虑其带点对象范畴 $\mathsf{H}(S{)}_{\ast }$, 它关于缩积构成对称幺半范畴. 考虑 Tate 对象 $({\mathbb{P}}^1,\infty )$, 即带基点 $\infty$ 的射影直线. $S$ 上母题谱范畴, 记作 $\mathsf{SH}(S)$, 指在可表现对称幺半范畴的范畴 $\mathsf{CAlg}({\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}})$ 里俯于 $\mathsf{H}(S{)}_{\ast }$ 下, 且 $({\mathbb{P}}^1,\infty )$ 被打到可逆对象的范畴之中初始者; 简而言之$$\mathsf{SH}(S):=\mathsf{H}(S{)}_{\ast }[({\mathbb{P}}^1,\infty {)}^{-1}].$$

注 1.2 (稳定性). 显然 $({\mathbb{P}}^1,\infty )\cong ({\mathbb{P}}^1,1)$; 由于 Nisnevich 拓扑细于 Zariski 拓扑, $$({\mathbb{G}}_m,1)({\mathbb{A}}_{\infty }^1,1)=\ast \ast =({\mathbb{A}}_0^1,1)({\mathbb{P}}^1,1)$$是 $\mathsf{H}(S{)}_{\ast }$ 中的推出图表, 这里 ${\mathbb{A}}_0^1$, ${\mathbb{A}}_{\infty }^1$ 分别表示 $0,\infty \in {\mathbb{P}}^1$ 附近的 ${\mathbb{A}}^1$. 换言之, $({\mathbb{P}}^1,1)=\Sigma ({\mathbb{G}}_m,1)=S^1\wedge ({\mathbb{G}}_m,1)$. 故逆掉 $({\mathbb{P}}^1,1)$ 就逆掉了带点 $S^1$. 由此可知 $\mathsf{SH}(S)$ 是稳定 $(\infty ,1)$-范畴.

(加一个注, 写出 $\mathsf{H}(S{)}_{\ast }[({\mathbb{P}}^1,\infty {)}^{-1}]$ 的具体构造.)

2性质

3相关概念

•	母题伦型
•	${\mathbb{P}}^1$-母题谱

术语翻译

母题谱 • 英文 motivic spectrum