Cartan 子代数

约定. 在本文中,

• 所有 Lie 代数都是无限域上的.

Cartan 子代数是 Lie 代数的一类特殊的子代数, 在半单 Lie 代数的根空间分解中发挥着根本性的作用.

1定义

定义 1.1 (Cartan 子代数). 设 $\mathfrak{g}$ 为 Lie 代数. 若 $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的幂零 Lie 子代数, 并且等于其正规化子$$\{x\in \mathfrak{g}:[x,\mathfrak{h}]\subseteq \mathfrak{h}\},$$则定义称 $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的 Cartan 子代数.