半单 Lie 代数

半单 Lie 代数是一种特殊的 Lie 代数, 它的结构可以被分类, 其表示被研究得很透彻. 在 Lie 群–Lie 代数对应下, 复半单 Lie 代数的表示对应于单连通紧 Lie 群的表示.

除非特别说明, 我们总假定 $\mathbb{k}$ 是一个特征为 $0$ 的域, $\mathfrak{g}$ 是 $\mathbb{k}$ 上的有限维 Lie 代数. 特征为 $p$ 的域的情况会对理论的建立产生一些阻碍.

1定义

定义 1.1 (半单 Lie 代数). 有限维 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 称为半单的, 如果 $\mathfrak{g}$ 是单 Lie 代数的直和.

半单 Lie 代数也有以下几种等价定义:

•	$\mathfrak{g}$ 的 Killing 型是非退化的 (定理 2.1).
•	$\mathfrak{g}$ 没有非零的 Abel 理想.
•	$\mathfrak{g}$ 没有非零的可解理想.
•	$\mathfrak{g}$ 的根 (即最大可解理想) $\mathrm{rad}\mathfrak{g}=0$ (定理 2.2).

2性质

定理 2.1 (Cartan 判别法). $\mathfrak{g}$ 是半单的等价于 $\mathfrak{g}$ 的 Killing 型 $B$ 是非退化的.

定理 2.2 (Levi 分解). 存在 $\mathfrak{g}$ 的半单子 Lie 代数 $\mathfrak{a}$ 使得$$\mathfrak{g}=\mathrm{rad}(\mathfrak{g})⋊\mathfrak{a}.$$其中 “$⋊$” 代表 Lie 代数的半直积.

(...)

3结构

从现在起, 我们假设 $\mathfrak{g}$ 是 $\mathbb{C}$ 上的半单 Lie 代数. 通过对 Cartan 子代数在 $\mathfrak{g}$ 上作用的研究, 可以得到 $\mathfrak{g}$ 的结构. 具体来说, 即是

定理 3.1 (根空间分解). 设 $\mathfrak{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 Cartan 子代数 (它一定存在), 那么有 $\mathfrak{h}$-表示的直和分解$$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus \underset{\alpha \in {\mathfrak{h}}^{\ast }}{⨁}{\mathfrak{g}}_{\alpha }.$$那些使得 ${\mathfrak{g}}_{\alpha }\ne 0$ 的 $\alpha \in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ 叫做 $\mathfrak{g}$ 关于 $\mathfrak{h}$ 的根, 所有根收集起来记作 $\Delta$, 而相应的空间 ${\mathfrak{g}}_{\alpha }$ 叫做根空间. 这些根与根空间满足:

1.	若 $\alpha +\beta \ne 0$, 则 $[{\mathfrak{g}}_{\alpha },{\mathfrak{g}}_{\beta }]={\mathfrak{g}}_{\alpha +\beta }$.
2.	如果 $\alpha \in \Delta$, 则 $-\alpha \in \Delta$, 且对 $|n|\ge 2$ 有 $n\alpha \notin \Delta$.
3.	${\mathfrak{g}}_{\alpha }\oplus [{\mathfrak{g}}_{\alpha },{\mathfrak{g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak{g}}_{-\alpha }$ 同构于 ${\mathfrak{sl}}_2$.

现在, 在 $V={\mathrm{span}}_{\mathbb{R}}(\Delta )$ 上赋予一个双线性型:$$⟨\varphi ,\psi ⟩=B(h_{\varphi },h_{\psi }),$$其中 $B$ 是 $\mathfrak{g}$ 上的 Killing 型, $h_{\varphi },h_{\psi }$ 是 $\varphi ,\psi \in {\mathfrak{h}}^{\ast }$ 在 Cartan 判别法 (2.1) 下保证的对应, 即 $h_{\varphi }$ 是唯一满足下列性质的 $\mathfrak{h}$ 中的元素:$$B(h,h_{\varphi })=\varphi (h),\forall h\in \mathfrak{h}.$$可以验证此双线性型在 $V$ 上是正定的, 这使得 $V$ 成为一个内积空间. 有了内积结构, 便可以对所有 $\alpha \in \Delta$ 定义反射 $s_{\alpha }:V\to V$:$$s_{\alpha }(v)=v-\frac{2⟨v,\alpha ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}\alpha .$$如果把 $\Delta$ 的性质抽象出来, 即

•	$V={\mathrm{span}}_{\mathbb{R}}(\Delta )$.
•	对任意 $\alpha \in \Delta$, $s_{\alpha }(\Delta )=\Delta$.
•	对任意 $\alpha ,\beta \in \Delta$, $\frac{2⟨\alpha ,\beta ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}\in \mathbb{Z}$.

就可以得到 $\Delta$ 是 $V$ 中的一个 (抽象) 根系. 这对复半单 Lie 代数是至关重要的, 因为所有的根系是可以被枚举的, 并且 Serre 定理告诉我们, 根系可以与复半单 Lie 代数对应.

4分类

参见: 根系

复半单 Lie 代数可以分解成单 Lie 代数的直和, 而单 Lie 代数对应于不可约的根系, 不可约的根系对应于连通的 Dynkin 图. 除了五个特殊的例子 $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$ 外, 剩下的四类 Dynkin 图对应于经典 Lie 代数:

•	$A_n$ 对应于 $\mathfrak{sl}(n+1)$.
•	$B_n$ 对应于 $\mathfrak{so}(2n+1)$.
•	$C_n$ 对应于 $\mathfrak{sp}(2n)$.
•	$D_n$ 对应于 $\mathfrak{so}(2n)$.

实半单 Lie 代数可以类似地通过 Satake 图来实现.

5表示论

参见: 半单 Lie 代数的表示

设 $\mathfrak{g}$ 是复半单 Lie 代数, 那么它的有限维不可约表示可以被最高权分类, 具体来说:

定理 5.1. 有一个双射

{$\mathfrak{g}$ 的有限维不可约表示} $⟷$ {${\mathfrak{h}}^{\ast }$ 中的支配整权},

由$$(\pi ,V)⟼V\text{ 的最高权}$$给出.

定理 5.2 (Weyl 特征公式). 设 $V$ 是最高权为 $\lambda$ 的不可约表示, 那么$$\mathrm{char}(V)=\frac{{\sum }_{w\in W}ϵ(w)e^{w(\lambda +\delta )}}{{\prod }_{\alpha \in {\Delta }^{+}}(e^{\frac{\alpha }{2}}-e^{-\frac{\alpha }{2}})}.$$其中

•	$W$ 是 Weyl 群.
•	$ϵ(w)=(-1{)}^{l(w)}$, $l(w)$ 是 $w$ 的长度.
•	$\mathrm{char}(V)={\sum }_{\mu \in {\mathfrak{h}}^{\ast }}\dim V_{\mu }{e}^{\mu }\in \mathbb{Z}[{\mathfrak{h}}^{\ast }]$.
•	$\delta =\frac{1}{2}{\sum }_{\alpha \in {\Delta }^{+}}\alpha$.

从而 $\mathfrak{g}$ 上的所有表示也可以被分类, 因为:

定理 5.3 (Weyl). $\mathfrak{g}$ 上有限维表示构成的范畴 $\mathsf{Rep}(\mathfrak{g})$ 是半单范畴.

对于某个特定的表示 $(\rho ,W)$, 我们想找出它的不可约表示的分解形式, 一个算法是先找出它的特征空间分解, 然后利用 Weyl 特征公式 (定理 5.2) 找出最高权对应的不可约表示 $(\pi ,V)$ 以及相应特征空间的维数, 由完全可约性 (定理 5.3) 知$$W=V\oplus U,$$其中 $\dim U_{\mu }=\dim W_{\mu }-\dim V_{\mu }$. 对 $U$ 进行同样的操作, 这个分解将在有限步内停止.

6相关概念

术语翻译

半单 Lie 代数 • 英文 semisimple Lie algebra • 德文 halbeinfache Lie-Algebra • 法文 algèbre de Lie semi-simple