滤子

滤子是指某个集合的一族子集, 具有类似拓扑空间中某个点的所有邻域构成的子集族的性质.

直观地说, 集合上的滤子是 “粗略地筛选” 具有某些性质的子集的方法. 令 $P$ 为集合 $X$ 的子集的性质. $X$ 那些 “可能满足性质 $P$” 的子集构成一个滤子.

1定义

定义 1.1 (滤子). 令 $X$ 为集合, $X$ 上的一个滤子是指满足下述性质的 $X$ 的子集族 $\mathcal{F}$:

•	若 $A$, $B$ 是 $\mathcal{F}$ 的成员, $A\cap B$ 也是.
•	若 $A$ 是 $\mathcal{F}$ 的成员, $B$ 包含 $A$, 那么 $B$ 也是 $\mathcal{F}$ 的成员.

于是空集是 $\mathcal{F}$ 的成员当且仅当 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$. 换言之, 空集不是 $\mathcal{F}$ 的成员当且仅当 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{P}(X)$ 的真子集. 此时称 $\mathcal{F}$ 为真滤子.

注 1.2. 滤子的概念也可以推广到 Boole 代数, 详见该条目. 这样, 这里定义的滤子就是 $X$ 的幂集 Boole 代数 $P(X)$ 的滤子.

定义 1.3 (滤子的加细). 令 $\mathcal{F}$ 与 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 为集合 $X$ 上的两个滤子. 如果任何 $\mathcal{F}$ 的成员都是 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 的成员, 那么我们称 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 是 $\mathcal{F}$ 的加细.

定义 1.4 (超滤). 集合 $X$ 上的滤子 $\mathcal{F}$ 称为超滤, 如果 $\mathcal{F}$ 的任何加细, 如还是真滤子, 就等于 $\mathcal{F}$.

利用 Zorn 引理, 可证明任何真滤子都有某超滤加细之.

2例子

1.	对集合间映射 $a:\mathbb{N}\to X$, 可定义滤子 ${\mathcal{F}}_a$ 如下: $X$ 的子集 $A$ 是 ${\mathcal{F}}_a$ 的成员当且仅当存在正整数 $N$, 使得 $a(n)\in A$ 对一切 $n>N$ 成立. 当 $X$ 是拓扑空间或一致空间时, 滤子 ${\mathcal{F}}_a$ 的成员是 “可能包含序列 $a$ 的极限” 的 $X$ 的子集.
2.	令 $X$ 为拓扑空间, $x\in X$. 则 $x$ 的邻域滤子 ${\mathcal{V}}_x$ 是指 $\{A\subset X:\exists \text{开集 }U,x\in U\subset A\}$.
3.	令 $X$ 为一致空间, $X$ 上滤子 $\mathcal{F}$ 称为 Cauchy 滤子, 如果对任何 $X$ 上的周围域 $U$, 存在 $A\in \mathcal{F}$, 使得 $A\times A\subset U$. 若 $X$ 的一致结构由度量诱导, $\mathcal{F}={\mathcal{F}}_a$ 来自某个函数 $a:\mathbb{N}\to X$, 则 $\mathcal{F}$ 是 Cauchy 滤子的必要且充分条件是 $a$ 是 Cauchy 序列.
4.	令 $f:X\to Y$ 为集合间映射, $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上滤子. 则$$f_{\ast }\mathcal{F}=\{B\subset Y:f^{-1}(B)\in \mathcal{F}\}$$是 $Y$ 上滤子, 称为 $\mathcal{F}$ 沿 $f$ 的前推.
5.	令 $X$ 为集合, $x\in X$, 则$${\mathcal{U}}_x=\{F\subset X:x\in F\}$$是 $X$ 上的超滤, 称为 $x$ 处的主滤子.

3拓扑空间上的滤子

在拓扑学中可定义滤子收敛的概念,

定义 3.1 (滤子收敛). 令 $\mathcal{F}$ 为拓扑空间 $X$ 上的滤子.

•	称 $\mathcal{F}$ 收敛于点 $x$, 或 $x$ 是 $\mathcal{F}$ 的极限, 如果 $\mathcal{F}$ 是邻域滤子 ${\mathcal{V}}_x$ (§2, 例 2) 的加细.
•	如果存在 $\mathcal{F}$ 的加细 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 收敛于点 $x\in X$, 且 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 为真滤子, 则称 $x$ 是滤子 $\mathcal{F}$ 的聚点.

容易验证, $x$ 是 $\mathcal{F}$ 的聚点当且仅当对任意 $x$ 的邻域 $U$, 任意 $\mathcal{F}$ 的成员 $A$, $U\cap A$ 非空.

形如 ${\mathcal{F}}_a$ (§2, 例 1) 的滤子收敛于 $x$ 当且仅当序列 $\{a(n)\}$ 收敛于 $x$. 因此, 滤子的收敛推广了拓扑空间上序列收敛的概念.

可利用滤子收敛的概念刻画连续性, 分离性, 及紧性.

命题 3.2. 令 $f:X\to Y$ 为拓扑空间之间的映射. 则下列陈述等价.

•	$f$ 连续,
•	对任意 $X$ 上滤子 $\mathcal{F}$, 若 $\mathcal{F}$ 收敛于 $x\in X$, 则 $f_{\ast }\mathcal{F}$ (§2, 例 4) 收敛于 $f(x)$.

术语翻译

滤子 • 英文 filter • 德文 Filter (m) • 法文 filtre (m)

超滤 • 英文 ultrafilter • 德文 Ultrafilter (m) • 法文 ultrafiltre (m)

聚点 • 英文 cluster point