用户: 遗忘的左伴随/Spectra are your friends

本文是对于经典文章 “Spectra are your friends” 中 Part 1 部分的阅读笔记.

警告 0.1. These notes are little more than a transcription of some emails between friends on fun math, and as such should not be taken too seriously. In particular, we can not vouch that everything contained in them is correct, nor even that the mistakes are restricted to the few typos and small fixable ga↵s that permiate every mathematical text. Use with caution and at your own risk!

1Spectra among stable $\infty$-category

稳定同伦论的某个方面可能具备神鬼二象性 (即有些人觉得很神秘, 有些人觉得绝妙无比). 那就是其对于谱 (拓扑学) 具有诸多不同的观点, 而这些观点都是具有意义的, 因为这确实可以带来诸多不同的见解.

稳定 $\infty$-范畴

首先回忆一个做同调代数的好环境—稳定 $(\infty ,1)$-范畴. 首先, 对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ , 若其具有零对象, 则称它是带点的, 这与带点范畴的定义是一致的. 将零对象记为 $0$. 当然, 在 $\infty$-范畴意义下零对象的意思在于 $\mathrm{Hom}(0,y)\simeq {\Delta }^0\simeq \mathrm{Hom}(x,0)$, 即为可缩.

定义 1.1. 考虑带点 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$,

•	其内三角是指图表 ${\Delta }^1\times {\Delta }^1\to \mathcal{C}$, 使得其可表为
•	若上述图表同时为拉回图表, 则称该三角为纤维列.
•	若上述图表同时为推出图表, 则称该三角为余纤维列.

注 1.2. 事实上, 三角指代的是以下信息:

1.	$\mathcal{C}$ 中可复合的态射 $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$.
2.	$g\circ f$ 是零伦的 (这表示一个 2-单形), 即存在 2-单形 (此时相当于将两个 ${\Delta }^2$ 沿着对角线粘起来使得用括号里的话来说就是整个图表都是被填充的.

定义 1.3. 称带点 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 是稳定的是指其满足以下条件:

1.	它包含全体有限极限以及余极限.
2.	全体纤维列都是余纤维列

接下来考虑带点 $\infty$-范畴中的推出和拉回图表此时如果我们选定范畴为带点拓扑生象范畴所对应的 $\infty$-范畴 ${\mathsf{Top}}_{\ast }$, 则根据同伦拉回与推出的定义进行计算可得其为约化纬悬 $\Sigma X$ 以及对于基点的环路生象 $\Omega X$. 因此我们沿用术语将 $\Sigma$ 称为纬悬, 将 $\Omega$ 称为环路, 不难发现它们具有函子性. 更一般地, 对于 $\mathcal{C}$ 可以给出伴随 $\Sigma ⊣\Omega$. 使用同调的角度来看, 这对应移位 $\Sigma =[1]$ 而 $\Omega =[-1]$. 如果我们侧重与 Abel 范畴的类比, 那么定义 1.3 的 2. 也可以解释为 $\Sigma$ 或 $\Omega$ 给出范畴等价 $\mathcal{C}\to \mathcal{C}$. 此时可以认为 $\mathcal{C}$ 内的全体事物都是在纬悬 (或环路) 操作下稳定的, 稳定范畴因而得名. 这一等价定义比起原定义来说更加方便, 因为其更容易被验证.

三角范畴

回忆到单纯集 $X$ 在 $\mathsf{Cat}$ 上的实现被称作同伦范畴, 记为 $hX$. 选定 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, 在 $h\mathcal{C}$ 中, $0$-单形变为对象, 而对于 $X,Y\in h\mathcal{C}$, 有$${\mathrm{Hom}}_{h\mathcal{C}}(X,Y)={\pi }_0{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$$在我们学习导出范畴时, 各种局限于 1-范畴的教材可能会向你灌输三角范畴这一概念. 这一概念对于古早的导出范畴来说是有必要的, 因为导出范畴与三角范畴都是 Jean-Louis Verdier 在他关于我们现在称为 Verdier 对偶的研究中所提出的概念, 他当时提出了导出范畴但是遗憾的发现它并非 Abel 范畴, 因此他竭力寻找一个更好的概念, 使得导出范畴作为其中例子存在. 然后他就提出了三角范畴, 由于这一概念让伟大的 Alexander Grothendieck 很高兴, 所以大家都很高兴. 但是三角范畴并非他们所想象的那般好使, 比如说锥与余锥的函子性具有问题, 并且其公理包含臭名昭著的八面体公理 (同时也是第二同构定理的特殊版本) 它的构造显然是并不显然的. 与此形成鲜明对比的是稳定 $\infty$-范畴的定义, 这是有史以来最自然的东西之一. 在大街上寻找一个使用三角范畴工作的人, 他可能答不出三角范畴的公理. 但是在大街上寻找一个使用稳定 $\infty$-范畴工作的人, 他随口就能说出那两条公理.
当然, 我们这么吹捧稳定 $\infty$-范畴是因为它的同伦范畴自然地带有三角范畴结构, 虽然在我们刚刚定义的三角中看不出来, 但是只需要把两个三角粘在一起, 即不难发现由于两个小方块均同时为拉回和推出, 因此外框也同时为拉回和推出, 从而 $W\simeq X[1]$ 且 $X\simeq W[-1]$. 这在同伦等价意义下是唯一确定的. 因此这就避免了在三角范畴中 $X[-1][1]$ 与 $X$ 不相等的尴尬局面. 容易验证其满足三角范畴的公理 ([Lurie 2017, Theorem 1.1.2.14]), 由于本文的核心在于让 Spectra be your friends, 而非让 stable $\infty$-category cover almost triangulated category, 因此我们跳过证明 (绝对不是因为懒). 那么对于一般我们所关心的东西, 它其实都可以被描述为稳定 $\infty$-范畴. 因此在哲学意义下稳定 $\infty$-范畴才是 Abel 范畴的正确推广.

生象范畴 $\mathsf{Ani}$ 的稳定化

假定大家都很熟悉生象 (如果不熟悉看完词条也就熟悉). 事实上, 正如同绝大部分范畴都不是 Abel 范畴一样, 绝大部分 $\infty$-范畴都不是稳定的. 它们可能不具有有限极限或者余极限, 并且哪怕有, 也可能可能没有零对象. 本节我们来处理 $\mathsf{Ani}$, 我们的目的是将其稳定化.

Hopf 纤维化引起的不稳定性

对于缺少零对象的问题, 我们可以通过对其进行带点化 (即考虑终对象的仰范畴). 记带点化后的 $\mathsf{Ani}$ 为 ${\mathsf{Ani}}_{\ast }$. 但是这个时候还具有一些问题: $\Sigma$ 和 $\Omega$ 此时并非带点生象之间的等价. 比如说并不存在非平凡的态射 $S^1\to S^0$, 但是如果我们升两维考虑 $S^3\to S^2$, 那么就有一个非平凡的态射, 即 Hopf 纤维化 (细节见覆叠与纤维化, 例子 3.4.)

暴力逆转 $\Omega$

我们现在知道问题是什么了, 事实上解决它也并不困难. 如果我们要 $\Omega :{\mathsf{Ani}}_{\ast }\to {\mathsf{Ani}}_{\ast }$ 为等价, 那暴力逆转它就行了! 首先, 过渡到$$\mathsf{Sp}=\lim (\cdots \stackrel{\Omega }{\to }{\mathsf{Ani}}_{\ast }\stackrel{\Omega }{\to }{\mathsf{Ani}}_{\ast }\stackrel{\Omega }{\to }\cdots )$$这就给出大名鼎鼎的谱的 $\infty$-范畴. 此处比较合适的类比是类比为对于环进行局部化. 此时我们将 $\Omega :{\mathsf{Ani}}_{\ast }\to {\mathsf{Ani}}_{\ast }$ 视为乘性系的生成元. 接下来我们给出一些解释:

经典的解释 I: $\Omega$-谱

拆解上述定义, 谱 $X$ 应当被表示为一串带点生象所构成的序列 $\{X_i{\}}_i$, 并且具有同伦等价 $X_i\simeq \Omega X_{i+1}$ (即 $\Omega$ 相当于给谱进行降维, 而由于我们想将 $\Omega$ 逆转, 因此自然为同伦等价). 这就是 $\Omega$-谱的定义, 也是谱的正确定义. 注意到通过伴随对 $\Sigma ⊣\Omega$ 可以过渡到伴随给出态射 $\Sigma X_i\stackrel{\sim }{\to }{X}_{i+1}$. 这样容易让我们联想到最常见的拓扑谱的定义. 那么为何说 $\Omega$-谱是谱的正确定义呢? 因为拓扑谱没有领会到同伦等价的精髓, 会造出很多其实是一致的对象. 当然, 给定拓扑谱我们总是可以通过令$$X_i^{\prime }=\underset{k}{\mathrm{colim}}{\Omega }^k{X}_{i+k}$$给出对应的 $\Omega$-谱. 右侧的余极限由拓扑谱中的态射过渡到伴随后给出.

经典的解释 II: 无穷环路生象

上述定义 (对于 ${\Omega }^k{X}_{i+k}$ 取余极限) 可能会给出另一个观点, 即无穷环路生象. 那它会是什么东西呢? 首先, 让我们从带点生象 $X_0$ 开始 (将这个 $X_0$ 称为无穷环路生象, 并且满足 $X_0=\Omega X_0$). 并且令 $X_0\simeq \Omega X_1$ 从而给出 $X_1$. 并且令 $X_1\simeq \Omega X_2$ 从而给出 $X_2$. 从而不断递归得到一串无穷的环路. 不难发现这样我们就构造出了一个 $\Omega$-谱. 但是对于 $\Omega$-谱而言, 我们无法指定某个对象为第一个对象, 即 $X_0$ 不总是能够指定. 对于 $X_0$ 而言, 总是会有 $X_{-1},X_{-2}$ 等一系列对象. 因此可以写为无穷环路生象的谱是很小一部分, 不过无穷环路生象自有其意义. 在 [nLab, infinite loop space] 中表明无穷环路空间等价于连通谱, 而在 [nLab, connective spectrum] 中表明连通谱构成 $\mathsf{Sp}$ 的余自反子范畴.

函子 ${\Omega }^{\infty }$ 以及 ${\Sigma }^{\infty }$

对于任意谱 $X$, 由于连通谱构成余自反子范畴, 因此嵌入函子具有自然的右伴随 $X\mapsto X_0$. 由于其将 $X$ 映为其某个作为无穷环路生象的分量 $X_0$ 上. 将 $X_0$ 视为带点生象, 得到函子 ${\Omega }^{\infty }:\mathsf{Sp}\to {\mathsf{Ani}}_{\ast }$ 并且称该函子为底无穷环路生象函子. 而使用这一符号的另一理由在于其左伴随 ${\Sigma }^{\infty }:{\mathsf{Ani}}_{\ast }\to \mathsf{Sp}$. 不难发现这给出一个拓扑谱, 并且带有典范同构 $\Sigma ({\Sigma }^{i}X)\simeq {\Sigma }^{i+1}X$ 根据前文所述可以将其对应于 $\Omega$-谱, 称为带点生象 $X$ 的纬悬谱. 当然最为典型的例子就是 $S:={\Sigma }^{\infty }{S}^0$, 称为球谱. 这一名称可谓生动形象, 因为其由 ${\Sigma }^i{S}^0\simeq S^i$ 所组成. 而一个稍微没那么令人兴奋的例子就是单点. 由于 ${\Sigma }^{\infty }$ 作为左伴随保余极限, 因此其保持零对象, 自然有 ${\Sigma }^{\infty }(\ast )=0$, 称为零谱.

${\Sigma }^{\infty }$ 的变体

对于上述伴随, 我们还可以加入带点化以及遗忘函子这一对伴随. 此时底无穷环路生象函子仍记为 ${\Omega }^{\infty }:\mathsf{Sp}\to \mathsf{Ani}$. 而纬悬谱函子则需要带点化, 即 ${\Sigma }_{+}^{\infty }:\mathsf{Ani}\to \mathsf{Sp}$. 当然比起 ${\Sigma }_{+}^{\infty }X$, 更能引起共鸣的符号无疑是 $S[X]$(我们将使用灵活的身段在两种符号之间来回切换). 这会让人想起群代数这一概念. 事实上, 如果稍微往前跳一点. 如果 $X$ 具有同伦群结构, 准确来说是 ${\mathbb{E}}_1$ 群. 那么 $S[X]$ 就具有 ${\mathbb{E}}_1$ 环结构, 就是字面意思上的 $S$ 上的群代数. 当然, 函子 $S[-]:\mathsf{Ani}\to \mathsf{Sp}$ 具有更加显式的刻画. 这是因为 $\mathsf{Ani}$ 是由单个对象在极限下生成的自由 $\infty$-范畴. 由于我们知道 $\mathsf{Ani}$ 实际上是全体 CW 复形所构成的空间, 而这些空间实际上由球面沿着圆盘所粘接得到, 可以视为余极限. 由于 ${\Sigma }_{+}^{\infty }$ 与余极限交换, 因此其本质上完全由单点及其余极限所确定. 对于生象 $X$, 其纬悬谱可以被视为余极限$$S[X]\simeq \underset{X}{\mathrm{colim}}S$$以及在 $\mathsf{Sp}$ 上取值为 $X$ 的常值图表 $X\to \mathsf{Sp}$.

逆转 $\Sigma$

最后来探讨一个问题: 我们知道稳定性可以表现为 $\Sigma$ 或 $\Omega$ 为等价. 而在前文中我们通过暴力逆转 $\Omega$ 给出一种等价. 那么是否可以暴力逆转 $\Sigma$ 呢? 答案是可以的, 但是具有其局限性. 逆转 $\Sigma$ 将会损失一些极限. 当然我们也有办法规避它, 即考虑紧生象所构成的 $\infty$-范畴 ${\mathsf{Ani}}_{\ast }^{\omega }$. 则有 $\mathsf{Ani}\simeq \mathrm{Ind}({\mathsf{Ani}}^{\omega })$ (即, 空间是紧生成的), 接下来我们想在稳定的视角下模仿这一点. 定义有限谱的 Spanier-Whitehead $\infty$-范畴为$$\mathcal{S}\mathcal{W}=\mathrm{colim}(\cdots \stackrel{\Sigma }{\to }{\mathsf{Ani}}_{\ast }^{\omega }\stackrel{\Sigma }{\to }{\mathsf{Ani}}_{\ast }^{\omega }\stackrel{\Sigma }{\to }\cdots )$$这样我们就将纬悬逆过来了, 虽然只是在紧生象的层面上. 因此可以考虑 $\mathrm{Ind}(\mathcal{S}\mathcal{W})$, 它等价于 $\mathsf{Sp}$.

•	J. Lurie (2017). Higher Algebra. preprint.
•	nLab. nLab.