稳定 (∞,1)-范畴

在高阶范畴论中, 稳定 $(\infty ,1)$-范畴是一类 $(\infty ,1)$-范畴, 具有类似三角范畴的结构, 即类似链复形范畴的结构. 例如, 稳定 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的对象可以取直和, 也可以像链复形一样移位, 等等. 例如, 链复形 $(\infty ,1)$-范畴就是稳定 $(\infty ,1)$-范畴.

稳定 $(\infty ,1)$-范畴的同伦范畴总是具有三角范畴的结构, 而稳定 $(\infty ,1)$-范畴具有比三角范畴更好的性质, 故有时视为后者的一种改良版本. 例如, 在三角范畴中, 同伦极限、同伦余极限并不具有函子性, 而稳定 $(\infty ,1)$-范畴中则具有, 因为它存储了更多关于高阶同伦的信息.

稳定 $(\infty ,1)$-范畴中的移位函子 $[1],[-1]$ 分别是纬悬、环路空间函子 $\Sigma ,\Omega$ 的特例. 换言之, 函子 $[1],[-1]$ 分别由 $(\infty ,1)$-推出、$(\infty ,1)$-拉回$$x0x[-1]00x[1]\text{ ,}0x┘┌$$给出, 这里 $0$ 是指零对象. 虽然这些推出、拉回, 即纬悬–环路伴随, 在很多 $(\infty ,1)$-范畴中都存在, 但稳定 $(\infty ,1)$-范畴的特别性质在于, 这对函子是范畴等价, 且互为逆函子.

由于环路函子 $\Omega =[-1]$ 可逆, 我们将稳定 $(\infty ,1)$-范畴视为经典稳定同伦论的推广, 即拓扑谱这一构造的推广. 事实上, 稳定同伦论的很多构造都可以由拓扑谱推广到一般的稳定 $(\infty ,1)$-范畴, 故后者常常用作现代稳定同伦论的基础设定.

从任何具有环路函子 $\Omega$ 的 $(\infty ,1)$-范畴出发, 都能够在其中将 $\Omega$ 变得可逆, 而得到一个新的稳定 $(\infty ,1)$-范畴, 称为原来范畴的稳定化. 例如, 从空间 $(\infty ,1)$-范畴出发, 得到的稳定化就是拓扑谱的 $(\infty ,1)$-范畴.

稳定 $(\infty ,1)$-范畴的一个有趣的性质是, 对其中任何一个方块图表$$xywz\text{ ,}$$它是 $(\infty ,1)$-推出图表当且仅当它是 $(\infty ,1)$-拉回图表, 我们称之为推拉方块或纤维方块. 另外, 当 $w=0$ 时, 我们称这样的推拉方块为正合三角, 这是仿照三角范畴中的术语来命名的 (虽然将正方形图表叫做三角确实奇怪).

1定义

考虑 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 并假设它具有零对象 $0\in \mathcal{C}$. 我们将形如$$xywx0z\text{ ,}0y┘┌$$的 $(\infty ,1)$-推出、$(\infty ,1)$-拉回图表分别称为 $\mathcal{C}$ 中的余纤维列、纤维列, 而 $z,w$ 分别称为态射 $x\to y$ 的余纤维、纤维.

定义 1.1. 称 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 为稳定 $(\infty ,1)$-范畴, 如果满足以下性质:

•	$\mathcal{C}$ 具有零对象 $0\in \mathcal{C}$.

•	$\mathcal{C}$ 中的每个态射都具有余纤维、纤维.

•	$\mathcal{C}$ 中的每个余纤维列都是纤维列, 反之亦然.

2参考文献

以下文献的第 1 章详细讨论了稳定 $(\infty ,1)$-范畴:

•	Jacob Lurie. Higher algebra. (pdf)

另可参见:

•	讲义: 同伦代数与同调代数/稳定范畴.

3相关概念

术语翻译

稳定 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 stable $(\infty ,1)$-category • 法文 $(\infty ,1)$-catégorie stable (f)