紧合作用

紧合作用是紧合映射在群作用中的特殊情况.

1定义

定义 1.1. 设拓扑群 $G$ 连续 (左) 作用在拓扑空间 $E$ 上. 如果映射$$\theta :G\times E\to E\times E,(s,x)\mapsto (x,s\cdot x)$$是紧合映射, 就称 $G$ 紧合作用在 $E$ 上.

2例子

•	若 $E=G$, $G$ 通过左乘连续作用在 $E$ 上, 那么映射 $\theta$ 就是同胚映射, 自然也是紧合映射.

•	若 $H$ 是 $G$ 的闭子群, $G$ 紧合作用在 $E$ 上, 那么 $H$ 也紧合作用在 $E$ 上因为 $H\times E$ 是 $G\times E$ 的闭子集.

3性质

自由作用时

设群 $G$ 自由作用在集合 $E$ 上 (即 $s\cdot x=x$ 推得出 $s=e$). 又设 $C=\{(x,s\cdot x)\in E\times E\mid x\in E,s\in G\}$ 是群作用的图像. 那么由于 $G$ 自由作用, 若 $(x,y)\in C$ 则存在唯一的 $s\in G$ 使得 $y=s\cdot x$. 因此我们有如下良定义的映射:$$t:C\to G,(x,s\cdot x)\mapsto s$$这样有:

命题 3.1. 设拓扑群 $G$ 连续自由作用拓扑空间 $E$ 上. 那么 $G$ 紧合作用的充分必要条件是

•	作用图像 $C$ 是 $E\times E$ 的闭子集, 且映射 $t$ 是连续的.

见 [Bourbaki 2007, III, p. 31, 命题 6].

当 $t$ 连续时, 也称 $G$ 弱紧合作用在 $E$ 上.

命题 3.2. 设离散群 $G$ 连续自由作用拓扑空间 $E$ 上. 则下列叙述等价:

•	标准投射 $p:E\to E/G$ 是 $G$-主丛.

•	每个 $x\in E$ 都有一个邻域 $U$, 使得 $U\cap sU\ne \varnothing$ 蕴涵 $s=e$. 这个性质也称为离散紧合.

•	集合 $t^{-1}(e)$ 是 $C$ 中的开集.

•	映射 $t$ 是连续的 (即 $G$ 弱紧合).

见 [tom Dieck 2008, 命题 14.1.12].

作用在局部紧空间时

现在给出一个 Hausdorff 拓扑群 $G$ 是否紧合作用在局部紧空间 $E$ 上的判据. 对任意两个子集 $K,L\subset E$, 用 $P(K,L)$ 表示使得 $sK\cap L\ne \varnothing$ 的 $s\in G$ 的集合. 我们有:

定理 3.3. 设 Hausdorff 拓扑群 $G$ 连续作用在拓扑空间 $E$ 上, $K$ 是 $E$ 的紧子集, $L$ 是 $E$ 的闭子集. 那么

•	集合 $P(K,L)$ 是 $G$ 的闭子集.

•	若 $G$ 紧合作用在 $E$ 上, 且 $L$ 是紧集, 那么 $P(K,L)$ 也是 $G$ 的紧子集.

反过来, 若 $E$ 是局部紧空间, 且对任意两个紧子集 $K,L\subset E$ 有 $P(K,L)$ 是 $G$ 的紧子集, 那么 $G$ 紧合作用在 $E$ 上.

见 [Bourbaki 2007, III, p. 33, 定理 1].

注 3.4. 由于显然 $P(K,L)\subset P(K\cup L,K\cup L)$, 因此分离拓扑群 $G$ 紧合作用在局部紧空间 $E$ 上当且仅当对于任意紧子集 $K\subset E$, 集合 $P(K,K)$ 是 $G$ 的紧子集.

特别地, 对于离散群 $G$, 其紧合作用在局部紧空间 $E$ 上当且仅当对于 $E$ 的任何紧子集 $K$, 只有有限个 $s\in G$ 能使 $sK\cap K\ne \varnothing$.

对流形和 Lie 群

定理 3.5. 设 Lie 群 $G$ 自由地光滑作用在光滑流形 $M$ 上, $C$ 是作用图像, $\pi :M\to M/G=X$ 是标准投射. 那么如下叙述等价:

•	$G$ 紧合作用在 $M$ 上.

•	$C$ 是 $M\times M$ 的闭子集, 且对任意 $x\in M$ 都存在一个 $M$ 的

包含 $x$ 的嵌入子流形 $N$ 使得 $T_x(M)$ 是 $T_x(N)$ 和 $T_x(G\cdot x)$ 的直和, 且 $\pi |N$ 是单射.

•	$X$ 上存在 (唯一的) 光滑结构使得 $\pi$ 是浸没.

见 [Varadarajan 2013, 定理 2.9.10].

注 3.6. 在满足上述等价条件时, 实际上 $\pi :M\to X$ 是一个 $G$-主丛.

推论 3.7. 设紧 Lie 群 $G$ 自由光滑作用在流形 $M$ 上. 那么 $M/G$ 上有唯一一个光滑结构使得 $\pi$ 是浸没.

见 [Varadarajan 2013, 推论 2.9.11].

推论 3.8. 设离散群 $G$ 自由光滑作用在流形 $M$ 上, $C$ 是 $M\times M$ 中的闭集. 则 $X=M/G$ 上存在一个光滑结构使得 $\pi$ 是浸没的充分必要条件是, $G$ 离散紧合作用在 $M$ 上.

证明. 使用命题 3.1 和命题 3.2 即可.

$\square$

4参考文献

•	N. Bourbaki (2007). Topologie générale: Chapitres 1 à 4. Bourbaki, Nicolas. Springer Berlin Heidelberg.

•	T. tom Dieck (2008). Algebraic Topology. EMS textbooks in mathematics. European Mathematical Society.

•	V.S. Varadarajan (2013). Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations. Graduate Texts in Mathematics 102. Springer New York.

术语翻译

弱紧合 • 英文 weakly proper

离散紧合 • 英文 properly discontinuous