约化群常表示论

约化群常表示论指特征 $0$ 域上约化群的表示论. 这是一种较好的情形: 所有表示均为半单对象, 特别地约化群上同调也均为 $0$ ; 对于分裂约化群, 其单表示由支配整权分类, 且均可由 Borel–Weil–Bott 定理实现为旗簇上等变向量丛的整体截面.

在特征 $p$ 的情形, 即约化群模表示论下, 除单表示由支配整权分类外, 以上提及的其它性质均不正确.

约化复 Lie 群的表示论与本文中分裂约化群的表示论完全相同.

1分裂情形

以下设 $G$ 是特征 $0$ 域 $k$ 上分裂约化群, $B$ 是它的 Borel 子群, $T$ 是它的极大环面, $W$ 是它的 Weyl 群.

定理 1.1 (半单性). $G$ 的所有有限维表示均半单.

定理 1.2 (单表示的分类). 将 $G$ 的表示 $V$ 映至它的最高权 $λ_{V}$ 的映射诱导了从 $G$ 的单表示至 $G$ 的支配整权的双射.

支配整权 $λ$ 对应的单表示记作 $L (λ)$ .

单表示可以显示地构造出来. 回忆有以下结论.

命题 1.3 (等变向量丛). 以下二范畴等价:

•	$B$ 的表示构成的范畴;
•	$G / B$ 上 $G$ -等变向量丛构成的范畴.

其中,

•	前者到后者的态射是对 $B$ -表示 $V$ , 取 $G \to G / B$ 这一 $B$ -主丛的配丛 $G \times^{B} V$ .
•	后者到前者的态射是取 $B \in G / B$ 这一点的纤维.

以下定理是 Borel–Weil–Bott 定理的一部分.

定理 1.4 (单表示的构造). $G$ 的整权 $λ$ 诱导了 $T$ 的表示, 它通过商映射 $B \to T$ 诱导了 $B$ 的表示, 从而通过命题 1.3 对应于 $G / B$ 上的等变向量丛, 记为 $O (λ)$ .

则如 $λ$ 是支配整权, 则有同构 $L (λ) ≃ H^{i} (G / B, O (w_{0} λ)),$ 这里 $w_{0}$ 表示 $W$ 的最长元素.

(...)

•	对 $G = SL_{2}$ , 旗簇 $G / B$ 就是一维射影空间, 记 $ϖ$ 为其单权, 则 1.4 中的 $O (nϖ)$ 同构于 Serre 扭层 $O (- n)$ . 由此在 $n \leq 0$ 时, 其上同调同构于 $Sym^{n} V$ , 其中 $V$ 为标准表示.

术语翻译

常表示论 • 英文 ordinary representation theory • 法文 théorie des représentations ordinaire