几何不变量理论

在代数几何中, 几何不变量理论 (简称 GIT) 是一种构造模空间的方法.

对域 $k$ 上的代数簇 $X$ 以及作用于其上的代数群 $G$, 几何不变量理论希望构造 “商簇” $X//G$. 这样的商簇并不是最理想的, 因为我们不总能找到满足类似商空间所有性质的商簇 “$X/G$”; 其本质原因是, 真正的商其实是商叠 $[X/G]$, 它是代数叠, 而不一定是代数簇. 因此, 我们本质上想要找到一个接近 $[X/G]$ 的代数簇 $X//G$.

构造商簇 $X//G$ 时, 需选定一些额外的信息, 有时称为稳定判据, 而商簇 $X//G$ 取决于稳定判据的选取.

几何不变量理论可以从商叠推广到一般的代数叠, 称为优模空间的理论.

1构造

仿射商簇

考虑域 $k$ 上的仿射簇 $X=\mathrm{Spec}A$, 假设 $k$-代数群 $G$ 作用于 $X$. 定义仿射商簇$$X//G=\mathrm{Spec}{A}^G,$$其中 $A^G\subset A$ 是由 $G$-不变元构成的子 $k$-代数. 这里, 称元素 $f\in A$ 为 $G$-不变元, 是指 $a^{\ast }(f)={\mathrm{pr}}_2^{\ast }(f)$, 其中 $a,{\mathrm{pr}}_2:G\times X\to X$ 分别为群作用映射与投影.

直观而言, 我们希望 $X//G$ 上的函数环由 $X$ 上所有在 $G$ 作用下不变的函数构成, 因此作上述定义. 这也是 “几何不变量理论” 名称的来源, 即 $A^G\subset A$ 为代数意义下的不变元之集, 而其几何意义为取商簇.

环的含入映射 $A^G\hookrightarrow A$ 诱导了映射 $\pi :X\to X//G$. 该映射的纤维不总是 $G$-轨道, 有时也可以是若干 $G$-轨道之并. 此时, 同一纤维中的 $G$-轨道称为 S-等价的, 从而 $X//G$ 中的点对应于 $X$ 中 $G$-轨道的 S-等价类.

射影空间商簇

下面考虑域 $k$ 上的射影空间 $X={\mathbb{P}}_k^n$, 并假设 $k$-代数群 $G$ 线性地作用于 $X$, 也就是说, $G$ 通过线性映射作用于仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^{n+1}$, 从而诱导 $X$ 上的作用. 记分次环 $A=k[x_0,\dots ,x_n]$, 从而 $X=\mathrm{Proj}A$, 则由假设, $G$ 也作用于 $A$. 我们定义$$X//G=\mathrm{Proj}{A}^G,$$其中 $A^G\subset A$ 是由 $G$-不变元构成的子 $k$-代数.

直观而言, 这实际上是考虑仿射商簇 ${\mathbb{A}}_k^{n+1}//G=\mathrm{Spec}{A}^G$, 再通过射影谱的构造将其射影化, 正如将 ${\mathbb{A}}_k^{n+1}$ 射影化得到 ${\mathbb{P}}_k^n$.

注意, 此时 $X$ 到 $X//G$ 不一定有自然的映射. 这是因为, 若考虑自然的映射 $\pi :{\mathbb{A}}_k^{n+1}\to {\mathbb{A}}_k^{n+1}//G$, 则 $0\in {\mathbb{A}}_k^{n+1}$ 所在的 S-等价类全部被映到同一个点 $\pi (0)\in {\mathbb{A}}_k^{n+1}//G$, 而后者在射影化时是要被去掉的. 因此, 需要在 ${\mathbb{A}}_k^{n+1}$ 中先去掉该 S-等价类, 再进行射影化, 得到的 $X$ 中开集到 $X//G$ 才有自然的映射. 此时, 该开集 $X^{\mathrm{ss}}\subset X$ 称为半稳定点之集, 并有自然映射 $X^{\mathrm{ss}}\to X//G$. 因此, 也常常将该商簇记为 $X^{\mathrm{ss}}//G$.

拟射影商簇

考虑域 $k$ 上的拟射影簇 $X$, 并设 $k$-代数群 $G$ 作用于 $X$. 为构造商簇 $X//G$, 我们采用如下策略: 首先找到一个浸入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}_k^n$, 使得 $G$ 能够线性地作用于 ${\mathbb{P}}_k^n$ 上, 该作用限制在 $X$ 上得到原来的作用. 这样, 就可以将 $X//G$ 定义为上小节构造的 ${\mathbb{P}}_k^n//G$ 中的子簇.

注意, 这样的浸入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}_k^n$ 不总是存在. 当它存在时, 不同的选取也最终给出不同的商簇 $X//G$.

浸入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}_k^n$ 给出 $X$ 上 $G$-等变的丰沛线丛 $L$. 这样的 $G$-等变线丛 $L$ 也称为关于群作用 $G\curvearrowright X$ 的稳定判据, 我们构造的商簇 $X//G$ 仅取决于 $L$.

此时, 我们有半稳定点之集 $X^{\mathrm{ss}}=X\cap ({\mathbb{P}}_k^n{)}^{\mathrm{ss}}$, 它是 $X$ 中开集. (...)

2参考文献

几何不变量理论的经典教科书:

•	D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan (1994). Geometric invariant theory. Ergeb. Math. Grenzgeb. 34. Springer-Verlag. (doi) (zbMATH)

3相关概念

术语翻译

几何不变量理论 • 英文 geometric invariant theory (GIT) • 法文 théorie géométrique des invariants • 日文 幾何学的不変式論 (きかがくてきふへんしきろん)