群概形

群概形是概形范畴的群对象.

1定义

定义 1.1 (群概形). 概形 $S$ 上的群概形指 $S$ 上概形范畴 ${\mathsf{Sch}}_S$ 的群对象. 换言之, $S$ 上群概形是四元组 $(G,m,e,i)$, $G$ 为 $S$ 上概形, $m:G{\times }_{S}G\to G$, $e:S\to G$, $i:G\to G$ 为 $S$-态射, 分别满足群乘法、单位元、逆元需满足的公理. 如乘法满足交换律, 则称其为交换群概形. $S$ 上群概形和交换群概形的范畴分别记作 ${\mathsf{Grp}}_S$ 和 ${\mathsf{Ab}}_S$.

注 1.2. 由群对象的一般道理及米田引理, $S$ 上群概形相当于函子 ${\mathsf{Sch}}_S\to \mathsf{Grp}$, 复合遗忘函子 $\mathsf{Grp}\to \mathsf{Set}$ 之后为可表. 类似地, 交换群概形相当于函子 ${\mathsf{Sch}}_S\to \mathsf{Ab}$, 复合遗忘函子之后可表. 我们通常用这种方式而不是定义中的四元组来给出群概形, 因为更方便. 如有 $S$ 上群概形 $G$, 我们也直接以 $h_G$ 记函子 ${\mathsf{Sch}}_S\to \mathsf{Grp}$.

定义 1.3 (同态). 设 $G,H$ 是 $S$ 上群概形. 则 $G$ 到 $H$ 的同态指 $S$-态射 $f:G\to H$, 满足涉及 $m,e,i$ 的图表都对应交换. 换言之, $f$ 沿米田引理对应的 $h_f:h_G\to h_H$ 是 ${\mathsf{Sch}}_S$ 到 $\mathsf{Grp}$ 的函子同态. $G$ 到 $H$ 所有同态的集合记作 ${\mathrm{Hom}}_S(G,H)$.

定义 1.4 (子群、正规子群). 设 $G$ 是 $S$ 上群概形. 则 $G$ 的子群指的是 $h_G:{\mathsf{Sch}}_S\to \mathsf{Grp}$ 的可表子函子, 即对每个 $S$-概形 $T$ 指定群 $G(T)$ 的一个子群, 这一指定构成可表函子. $G$ 的子群 $H$ 称为正规子群, 意思是对每个 $T\in {\mathsf{Sch}}_S$, $H(T)$ 都是 $G(T)$ 的正规子群.

定义 1.5 (单、满、正合列). 称 $S$ 上群概形同态 $f:G\to H$ 为单 (满), 指的是函子同态 $h_f:h_G\to h_H$ 作为 fpqc 层的映射为单 (满). 由于层单射和预层单射一样, $f$ 是单射也等价于对每个 $S$-概形 $T$, 映射 $f(T):G(T)\to H(T)$ 为单射, 而满射则不然. 类似地, 群概形映射列称为正合列, 指的是它作为 fpqc 层映射列为正合.

2例子

以下固定基概形 $S$, 所有的概形都是 $S$-概形.

•	$S$ 本身总是自己的群概形, 因其表示的函子取值总为单点. 这称为平凡群概形, 记作 $1$ 或 $0$.
•	函子 $X\mapsto \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 被仿射直线 ${\mathbb{A}}_S^1$ 表示, 故这给出交换群概形, 称为加法群概形, 记作 ${\mathbb{G}}_{a,S}$.
•	函子 $X\mapsto \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X^{\times })$ 被 ${\mathbb{A}}_S^1\setminus 0$ 表示, 故这给出交换群概形, 称为乘法群概形, 记作 ${\mathbb{G}}_{m,S}$.
•	各种线性代数群都是群概形, 例如一般线性群、特殊线性群、正交群等.
•	椭圆曲线是群概形. 一般地, Abel 概形是群概形.

3性质

群概形和群一样有各种构造.

命题 3.1 (核). 对 $S$ 上群概形同态 $f:G\to H$, 存在 $S$ 上群概形 $\ker (f)$ 满足 $1\to \ker (f)\to G\to H$ 为正合列. 换言之, 函子 $T\mapsto \ker (G(T)\to H(T))$ 可表. $\ker (f)$ 称为 $f$ 的核.

证明. 回忆概形可以作纤维积. 定义 $\ker (f)$ 为纤维积$$\ker (f)1GHf$$显然满足要求.

$\square$

注 3.2. 相比之下像和商就没那么好. 当然, 作为 fpqc 层的像和商总是有的, 但未必可表. 可表性只在域上有限型即代数群情形成立.

命题 3.3 (积). $S$ 上任两个群概形 $G,H$ 都能作乘积. 换言之, 函子 $T\mapsto G(T)\times H(T)$ 可表.

证明. 显然纤维积 $G{\times }_{S}H$ 就是这个乘积.

$\square$

于是范畴 ${\mathsf{Grp}}_S$ 有有限极限.

命题 3.4 (基变换). 设 $T\to S$ 是概形态射. 则 $-{\times }_{S}T$ 给出函子 ${\mathsf{Sch}}_S\to {\mathsf{Sch}}_T$, 称为群概形的基变换. 它保持极限.

注 3.5. 它有时有右伴随, 称为 Weil 限制.

下面几个命题来自群概形的齐性. 以下命题就是 Lie 群切丛平凡的代数几何类比, 这里 $e^{\ast }{\Omega }_{G/S}$ 就好比是单位元处余切空间.

命题 3.6. $G$ 是 $S$ 上群概形. 以 $p:G\to S$ 记结构映射, $e:S\to G$ 记单位元. 则 ${\Omega }_{G/S}=p^{\ast }{e}^{\ast }{\Omega }_{G/S}$.

命题 3.7. $G$ 是 $S$ 上群概形. 则 $G$ 在 $S$ 上分离 (拟分离) 当且仅当 $e:S\to G$ 是闭浸入 (拟紧).

仿射群概形

仿射概形上的仿射群概形对应于 Hopf 代数.

4相关概念

•

Hopf 代数

术语翻译

群概形 • 英文 group scheme • 德文 Gruppenschema • 法文 schéma en groupe