仿射 Graßmann 形

仿射 Graßmann 形是 Graßmann 形在 “仿射” (即仿射型 Coxeter 图) 情形的类比: Graßmann 形可以写为商空间 ${\mathrm{GL}}_n/P$ 的形式, 其中 $P$ 是 ${\mathrm{GL}}_n$ 的极大抛物子群, 也就是只有两块的分块上三角矩阵构成的子群; 域 $k$ 上的分类约化群 $G$ 对应的仿射 Graßmann 形则是环路群商去它的极大抛物子群: ${\mathrm{Gr}}_G=G(\mathcal{K})/G(\mathcal{O})$ ($\mathcal{K}=k((t)),\mathcal{O}=k[[t]]$).

另一方面, 仿射 Graßmann 形大致是相应环路群的 Bruhat–Tits 楼的 $0$ 维胞腔之集, 也是对称空间的非 Archimedes 类比, 仿射 Graßmann 流形上的许多构造都可以对应于对称空间上的构造. 例如 Lie 群理论中的 Cartan 分解与 Iwasawa 分解均有类似物:$${\mathrm{Gr}}_G=\underset{\lambda \in {\mathrm{X}}_{\ast }(T{)}^{+}}{⨆}G(\mathcal{O})t^{\lambda }G(\mathcal{O})$$$${\mathrm{Gr}}_G=\underset{\lambda \in {\mathrm{X}}_{\ast }(T)}{⨆}N(\mathcal{K})t^{\lambda }G(\mathcal{O})$$前者大致上把空间分解为同心球之并, 后者则分解为极限球之并.

仿射 Graßmann 流形也有几何意义, 它大致是曲线上固定一点外的平凡化的 $G$-主丛的模空间, 允许此点变动则会得到整体仿射 Graßmann 形. 有关仿射 Graßmann 形的结论经常用在几何 Langlands 纲领中, 例如几何 Satake 等价.

1定义

作为集合

定义 1.1 (仿射 Graßmann 形). 设 $G$ 是域 $k$ 上的分裂约化群, 其对应仿射 Graßmann 形为$${\mathrm{Gr}}_G=G(\mathcal{K})/G(\mathcal{O}),$$其中 $\mathcal{K}=k((t)),\mathcal{O}=k[[t]]$.

作为归纳概形

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2性质

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3相关概念

•	整体仿射 Graßmann 形
•	$p$ 进仿射 Graßmann 形

术语翻译

仿射 Graßmann 形 • 英文 affine Grassmannian • 法文 Grassmannienne affine (f)