Hopf 代数

Hopf 代数是一种代数结构. 它是一个代数, 并带有相容的余代数的结构 (即一个余乘运算).

在代数–几何对偶的观点下, 一个 Hopf 代数对应于一个具有群结构的空间. 交换 Hopf 代数对应群概形 (2.3), 一般的 Hopf 代数则可以视为交换 Hopf 代数的量子化, 即对应非交换空间.

在 Tannaka–Krein 对偶的观点下, Hopf 代数对应于刚性幺半范畴 (即一个范畴, 同时具有 “张量积” 与 “对偶” 运算) .

1定义

定义 1.1 (Hopf 代数). 域 $k$ 上的 Hopf 代数是六元组 $(A,m,e,\mu ,\epsilon ,\iota )$, 其中

•	$(A,m,e,\mu ,\epsilon )$ 是 $k$-双代数. 具体而言, ∘ $A$ 是 $k$-向量空间. ∘ $(A,m,e)$ 是 $k$-代数, 其中 $m:A{\otimes }_{k}A\to A$ 是乘法, $e:k\to A$ 是单位. ∘ $(A,\mu ,\epsilon )$ 是 $k$-余代数, 其中 $\mu :A\to A{\otimes }_{k}A$ 是余乘, $\epsilon :A\to k$ 是余单位. ∘ 这些运算满足相容条件, 即 $\mu ,\epsilon$ 是代数同态. 等价地说, $m,e$ 是余代数同态.

•	$\iota :A\to A$ 是 $k$-线性映射, 称为对合映射或余逆.

满足下述条件:

•	复合映射$$\begin{array}{rl}m\circ (\mathrm{id}\otimes \iota )\circ \mu & :A\to A\otimes A\to A\otimes A\to A\\ m\circ (\iota \otimes \mathrm{id})\circ \mu & :A\to A\otimes A\to A\otimes A\to A\end{array}$$都等于$$e\circ ϵ:A\to k\to A.$$

在不引起歧义时, 上述六元组简记为 $A$.

定义 1.2. 称一个 Hopf 代数交换, 如其下相应的代数交换.

定义 1.3. 域 $k$ 上 Hopf 代数之间的同态定义为与其所有运算相容的映射. $k$ 上所有 Hopf 代数范畴构成一范畴, 记为 ${\mathsf{HAlg}}_k$, 所有交换 Hopf 代数构成的范畴记为 ${\mathsf{CHAlg}}_k$

2性质

命题 2.1. Hopf 代数 $A$ 的有限维 (左或右, 下不妨设为左) 模 (即其作为一个代数上的模) 范畴 ${}_A\mathsf{Mod}$ 是刚性幺半范畴. 其中,

•	张量积运算 $\otimes$ 为: 对两个 $A$ 模 $V_1,V_2$, 张量积 $V_1{\otimes }_k{V}_2$ 上有自然 $A\otimes A$ 模结构. 通过余乘 $\mu :A\to A\otimes A$ 给出其 $A$ 模结构.
•	对偶运算 $(-{)}^{\vee }$ 为: 对 $A$ 模 $V$, 向量空间 ${\mathrm{Hom}}_k(V,k)$ 上有自然 $A^{\mathrm{op}}$ 模结构, 通过余逆 $A\to A^{\mathrm{op}}$ 给出其 $A$ 模结构.

注 2.2. 刚性幺半范畴要求的结构态射 $V^{\vee }\otimes V\to k$ 由 $f\otimes x\mapsto f(x)$ 给出. 注意如果换成 $V\otimes V^{\vee }\to k$, 则这不构成模同态, 因此 $V^{\vee }$ 只构成右对偶, 不构成左对偶.

命题 2.3. 域 $k$ 上的交换 Hopf 代数范畴与 $k$ 上的仿射群概形范畴等价, 二互逆函子为: $$\begin{array}{rl}\mathrm{Spec}:& {\mathsf{CHAlg}}_k\to \mathsf{AGSch}\\ \mathcal{O}:& \mathsf{AGSch}\to {\mathsf{CHAlg}}_k.\end{array}$$在此二函子下, Hopf 代数的余运算与群概形的运算相互对应.

3例子

•	由命题 2.3, 仿射群概形的全局截面有 Hopf 代数结构.
•	对有限群 $G$, 群代数 $k[G]$ 具有 Hopf 代数结构: ∘ 余乘 $k[G]\to k[G]\otimes k[G]$ 由 $g\mapsto g\otimes g$ 诱导. ∘ 余逆 $k[G]\to k[G{]}^{\mathrm{op}}$ 由 $g\to g^{-1}$ 诱导. ∘ 余单位 $k[G]\to k$ 由 $g\mapsto 1$ 诱导.
•	可通过群概形量子化构造非交换 Hopf 代数, 以下是群概形 $\mathrm{SL}(2)$ 与量子群 ${\mathrm{SL}}_q(2)$ 之对应: ∘ $\mathrm{SL}(2)$ 的坐标环代数为 $\mathcal{O}(\mathrm{SL}(2))=k[X_{1,1},X_{1,2},X_{2,1},X_{2,2}]$, 其同构于四元多项式环; ${\mathrm{SL}}_q(2)$ 的坐标环代数在形式上仍为 $\mathcal{O}(\mathrm{SL}(2))$, 规定量子化乘法如下$$\begin{array}{rl}& X_{1,2}{X}_{1,1}=q{X}_{1,1}{X}_{1,2},X_{2,1}{X}_{1,1}=q{X}_{1,1}{X}_{2,1},\\ & X_{2,2}{X}_{2,1}=q{X}_{2,1}{X}_{2,2},X_{2,2}{X}_{1,2}=q{X}_{1,2}{X}_{2,2},\\ & X_{2,1}{X}_{1,2}=X_{1,2}{X}_{2,1},X_{1,1}{X}_{2,2}-X_{2,2}{X}_{1,1}=(q^{-1}-q)X_{1,2}{X}_{2,1}.\end{array}$$ ∘ $\mathrm{SL}(2)$ 与 ${\mathrm{SL}}_q(2)$ 的单位同一般 $k$-代数定义. ∘ $k[\mathrm{SL}(2)]$ 与 $k[{\mathrm{SL}}_q(2)]$ 上的余乘均由 $\mu :X_{i,j}=\sum _{1\le l\le 2}{X}_{i,l}\otimes X_{l,j}$ 给出. ∘ $k[\mathrm{SL}(2)]$ 与 $k[{\mathrm{SL}}_q(2)]$ 上的余单位均为 $\epsilon (X_{i,j})={\delta }_{i,j}$. ∘ $k[\mathrm{SL}(2)]$ 与 $k[{\mathrm{SL}}_q(2)]$ 上的余逆均为 $\iota (X_{i,j})=(-1{)}^{i+j}{X}_{3-j,3-i}$.

术语翻译

Hopf 代数 • 英文 Hopf algebra • 德文 Hopf-Algebra (f) • 法文 algèbre de Hopf (f)