纯母题

域 $k$ 上的纯母题范畴 $M(k)$ 是一个伪 Abel 范畴, 每个射影光滑代数簇 $X$ 均对应于范畴中的对象 $\mathfrak{h}(X)$, 称为其母题, 而对象 $\mathfrak{h}(X)$ 与 $\mathfrak{h}(Y)$ 的态射集则大致是代数簇 $X$, $Y$ 之间的对应. 与纯母题相对的概念是混母题范畴, 它包含了所有代数簇的母题.

母题范畴记录了所有上同调理论应当满足的相交理论性质, 因此可以视为某种 “万有” 上同调理论. 任意射影光滑代数簇上的 Weil 上同调理论 $H$ 均能延拓至纯母题范畴, 这一过程也称为母题的实现.

纯母题范畴有刚性幺半范畴的结构, 因此通过代数–范畴对偶, 其等价于某个群的表示范畴, 这一现象的研究称为母题 Galois 理论. 此理论是 Galois 理论的推广: 零维簇的母题生成的全子范畴等价于 Galois 群的表示范畴.

1定义

定义 1.1 (纯母题范畴). 固定基域 $k$ 和系数环 $A$, 纯母题范畴 $M_{\sim }(k{)}_A$ 是如下预加性范畴的幂等完备化:

•	对象形如 $\mathfrak{h}(X)(r)$, 其中 $X$ 是射影光滑代数簇, $r$ 是整数. $\mathfrak{h}(X)(0)$ 简记为 $\mathfrak{h}(X)$, 称为 $X$ 的母题.

•	$\mathfrak{h}(X)(r)$ 与 $\mathfrak{h}(Y)(r^{\prime })$ 之间的态射为 ${\mathcal{Z}}^{\dim X+r^{\prime }-r}(X\times Y{)}_A/\sim$. 其中, ${\mathcal{Z}}^{\dim X+r^{\prime }-r}(X\times Y{)}_A$ 表示 $X\times Y$ 中 $\dim X+r^{\prime }-r$ 维代数圈的 $A$-系数线性组合构成的模, $\sim$ 表示代数圈的某种适当等价, 例如有理等价、代数等价、同调等价等.

•	态射的复合是对应的卷积: 对 $X\times Y$ 与 $Y\times Z$ 中的代数圈 $U_1$, $U_2$, 其复合为 $X\times Z$ 中的代数圈 $p_{XZ\ast }(p_{XY}^{\ast }{U}_1\cap p_{XZ}^{\ast }{U}_2)$.

换言之, $M_{\sim }(k{)}_A$ 中的对象形如 $e\mathfrak{h}(X)(r)$, 其中 $e$ 为 ${\mathcal{Z}}^{\dim X}(X\times X{)}_A/\sim$ 中的幂等元.

可以看出, 恒等态射 ${\mathrm{id}}_X$ 就是 $X\times X$ 的对角线.

纯母题范畴可以赋予刚性幺半范畴的结构.

定义 1.2 (刚性幺半范畴结构).

•	张量积为$$e\mathfrak{h}(X)(r)\otimes e^{\prime }\mathfrak{h}(X^{\prime })(r^{\prime })=(e\times e^{\prime })\mathfrak{h}(X\times X^{\prime })(r+r^{\prime }).$$

•	单位元为单点空间的母题 $\mathfrak{h}(\ast )$, 记为 $1$.

•	对偶为$$(e\mathfrak{h}(X)(r){)}^{\vee }=e^t\mathfrak{h}(X)(d-r).$$其中 $d$ 为 $X$ 的维数, $t$ 表示 $X\times X$ 交换两个坐标位置.

注 1.3. 由定义可以看出, 张量 $1(1)$ 是范畴等价, 这一过程称为 Tate 扭转.

2性质

(...)

3例子

•

对射影直线 ${\mathbb{P}}^1$, 取其上一 $k$-点 $x$, 则代数圈 $x\times {\mathbb{P}}^1\subset {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ 是复合态射 $\mathfrak{h}({\mathbb{P}}^1)\to 1(-1)\to \mathfrak{h}({\mathbb{P}}^1)$, 而代数圈 ${\mathbb{P}}^1\times x\subset {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ 是复合态射 $\mathfrak{h}({\mathbb{P}}^1)\to 1\to \mathfrak{h}({\mathbb{P}}^1)$. 由于在 ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ 中, 有代数圈的等价 $\Delta \sim x\times {\mathbb{P}}^1+{\mathbb{P}}^1\times x$, (其中 $\Delta$ 为对角线) 且这两个代数圈均是幂等元, 有直和分解 $\mathfrak{h}({\mathbb{P}}^1)\simeq 1\oplus 1(-1)$.

•	对射影空间 ${\mathbb{P}}^n$ 也有类似结论. 由于在 ${\mathbb{P}}^n\times {\mathbb{P}}^n$ 中有对角线的分解$$\Delta \sim \sum _{i=0}^n{\mathbb{P}}^i\times {\mathbb{P}}^{n-i},$$由类似论证可知$$\mathfrak{h}({\mathbb{P}}^n)=\underset{k=0}{\overset{n}{⨁}}1(-k).$$

•	以上两个事实反映了以下上同调理论中的事实: 对 $0\le i\le n$ 与 $K$-系数 Weil 上同调 $H$, $H^{2i}({\mathbb{P}}^n)=K(-i)$.

术语翻译

纯母题 • 英文 pure motive • 法文 motif pur (m)