母题

在代数几何中, 母题大致来说是代数簇的组成要素. 每个代数簇 $X$ 都有自己的母题 $[X]$, 并且对任何闭子簇 $Z\subset X$, 都满足关系$$[X]=[Z]+[X\setminus Z],$$例如有 $[{\mathbb{P}}^1]=[{\mathbb{A}}^1]+1$ 等等, 其中 $1$ 是单点簇的母题. 例如, 复代数簇的 Euler 示性数就满足此关系, 因此可以视为一种很粗略的 “母题”. 所有这样的母题构成 Abel 群, 并且关于代数簇的积构成交换环.

上面描述的是一种简化的母题, 或者说简单母题. 真正的母题是简单母题的一种范畴化: 所有简单母题构成 Abel 群, 而母题则构成稳定 $(\infty ,1)$-范畴, 或者说三角范畴. 对光滑代数簇 $X$ 和光滑闭子簇 $Z\subset X$, 上述母题关系将推广为正合三角$$[X\setminus Z]⟶[X]⟶[Z](c)[2c]\stackrel{+1}{⟶}\cdots ,$$其中 $c$ 是 $Z$ 的余维数, 记号 $(c)$ 表示 Tate 扭转, 而 $[2c]$ 表示三角范畴中的平移. 但需注意, 上述两种关系并不直接对应, 因为简单母题所满足的关系类似紧支上同调的性质, 而上述正合三角则类似普通上同调的性质. 另外, 简单母题也能记住一些母题无法记录的信息, 即二者的信息并不互相包含.

构造母题的最初想法是将其作为一种万有的上同调理论, 也就是说, 代数簇的任何上同调理论, 例如代数 de Rham 上同调、平展上同调、复代数簇的普通上同调等, 都能通过代数簇的母题得到, 而母题范畴的诸性质则蕴涵了相应上同调理论的性质. 例如, 上述正合三角则体现为上同调的 Gysin 序列. 又例如, ${\mathbb{A}}^1$-同伦等价是母题范畴中的同构, 因此 ${\mathbb{A}}^1$-同伦等价也诱导上同调的同构.

在母题范畴中, 由光滑簇构成的子范畴也称为纯母题范畴; 相应地, 一般的母题也称为混母题. 纯母题的构造较容易一些, 纯母题间的态射可以通过对应来描述. 另一方面, 混母题则还没有准确的定义: 虽然母题范畴已有定义, 但混母题应该是该三角范畴的某个 t-结构的心, 从而是 Abel 范畴, 而该 t-结构目前还未能构造出来.

1定义

简单母题

定义 1.1. 设 $k$ 是域. 考虑商群$$K_0({\mathsf{Var}}_k)=(\underset{X}{⨁}\mathbb{Z}\cdot [X])/\sim ,$$其中 $X$ 取遍所有 $k$-代数簇的同构类, 而 $\sim$ 是由以下关系生成的子群:

•	对每个 $k$-代数簇 $X$ 和闭子簇 $Z\subset X$, 有关系$$[X]\sim [Z]+[X\setminus Z].$$

该 Abel 群配以由 $k$-代数簇的积 (即关于 $\mathrm{Spec}k$ 的纤维积概形) 给出的乘法, 而成为交换环, 称为 $k$ 上的简单母题环, 其元素称为 $k$ 上的简单母题.

对 $k$-代数簇 $X$, 元素 $[X]\in K_0({\mathsf{Var}}_k)$ 称为 $X$ 的简单母题.

母题

2相关概念

术语翻译

母题 • 英文 motive • 法文 motif (m)

简单母题 • 英文 naive motive